次の2つの関数について、増減、極値、および極限値 $\lim_{x \to \pm \infty} y$ を調べ、グラフを描く。 (1) $y = \frac{2x}{x^2+1}$ (2) $y = 2e^{-x} - e^{-2x}$

1. 問題の内容

次の2つの関数について、増減、極値、および極限値 $\lim_{x \to \pm \infty} y$ を調べ、グラフを描く。

(1) $y = \frac{2x}{x^2+1}$

(2) $y = 2e^{-x} - e^{-2x}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{2x}{x^2+1}$

(i) 極限値の計算：

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{x^2+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2/x}{1+1/x^2} = 0$

$\lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{x^2+1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2/x}{1+1/x^2} = 0$

(ii) 導関数の計算：

$y' = \frac{2(x^2+1) - 2x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^2+2 - 4x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{-2x^2+2}{(x^2+1)^2} = \frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}$

(iii) 増減表の作成：

$y' = 0$ となるのは $1-x^2 = 0$ のとき、つまり $x = \pm 1$ のとき。

| x | ... | -1 | ... | 1 | ... |

|------|------|-----|------|-----|------|

| y' | - | 0 | + | 0 | - |

| y | ↓ | -1 | ↑ | 1 | ↓ |

(iv) 極値の計算：

$x=-1$ のとき極小値 $y = \frac{2(-1)}{(-1)^2+1} = -1$

$x=1$ のとき極大値 $y = \frac{2(1)}{(1)^2+1} = 1$

(v) グラフの概形：

$x$ が大きくなるにつれて $y$ は 0 に近づき、$x$ が小さくなるにつれて $y$ も 0 に近づく。

$(-1, -1)$ で極小、$(1, 1)$ で極大。

(2) $y = 2e^{-x} - e^{-2x}$

(i) 極限値の計算：

$\lim_{x \to \infty} (2e^{-x} - e^{-2x}) = 2(0) - 0 = 0$

$\lim_{x \to -\infty} (2e^{-x} - e^{-2x}) = \infty - \infty$ (不定形)

$t = e^{-x}$ とおくと、$x \to -\infty$ のとき $t \to \infty$

$\lim_{x \to -\infty} (2e^{-x} - e^{-2x}) = \lim_{t \to \infty} (2t - t^2) = \lim_{t \to \infty} t(2-t) = -\infty$

(ii) 導関数の計算：

$y' = -2e^{-x} + 2e^{-2x} = 2(e^{-2x} - e^{-x}) = 2e^{-x}(e^{-x} - 1)$

(iii) 増減表の作成：

$y' = 0$ となるのは $e^{-x} = 1$ のとき、つまり $x = 0$ のとき。

| x | ... | 0 | ... |

|------|------|-----|------|

| y' | + | 0 | - |

| y | ↑ | 1 | ↓ |

(iv) 極値の計算：

$x=0$ のとき極大値 $y = 2e^0 - e^0 = 2 - 1 = 1$

(v) グラフの概形：

$x$ が大きくなるにつれて $y$ は 0 に近づき、$x$ が小さくなるにつれて $y$ は $-\infty$ に近づく。

$(0, 1)$ で極大。

3. 最終的な答え

(1)

極限値：$\lim_{x \to \infty} y = 0$, $\lim_{x \to -\infty} y = 0$

極大値：$x=1$ で $y=1$

極小値：$x=-1$ で $y=-1$

(2)

極限値：$\lim_{x \to \infty} y = 0$, $\lim_{x \to -\infty} y = -\infty$

極大値：$x=0$ で $y=1$

極小値：なし