与えられた三角関数の式を簡略化し、指定された形式で表現する問題です。左側の式は$2\sqrt{3}\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) - 4\sin\theta$ で、右側の式は$\sqrt{3}\sin(\theta + \frac{5\pi}{6}) + 2\sin\theta$ です。 それぞれを、$a\sin\theta + b\sin(\theta - \pi)$ の形に変形する必要があります。

1. 問題の内容

与えられた三角関数の式を簡略化し、指定された形式で表現する問題です。左側の式は$2\sqrt{3}\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) - 4\sin\theta$ で、右側の式は$\sqrt{3}\sin(\theta + \frac{5\pi}{6}) + 2\sin\theta$ です。 それぞれを、$a\sin\theta + b\sin(\theta - \pi)$ の形に変形する必要があります。

2. 解き方の手順

(1) 左側の式: $2\sqrt{3}\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) - 4\sin\theta$ を変形します。

まず、加法定理を用いて$\sin(\theta + \frac{\pi}{6})$を展開します。

$\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) = \sin\theta\cos\frac{\pi}{6} + \cos\theta\sin\frac{\pi}{6} = \sin\theta \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos\theta \cdot \frac{1}{2}$

これを元の式に代入すると、

$2\sqrt{3}(\sin\theta \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos\theta \cdot \frac{1}{2}) - 4\sin\theta = 3\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta - 4\sin\theta = -\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$

次に、$\sqrt{3}\cos\theta$を$\sin$の形に変形します。

$\sqrt{3}\cos\theta = \sqrt{3} \sin(\theta + \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}) = \sqrt{3}\sin(\frac{\pi}{2} + \theta)$

$-\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta = -\sin\theta + \sqrt{3}\sin(\theta + \frac{\pi}{2})$

与えられた形式は $a\sin\theta + b\sin(\theta - \pi)$ なので、$b\sin(\theta - \pi) = -b\sin\theta$ となります。

$-\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta = a\sin\theta -b\sin\theta$

$a = 0$ で，$b = 1$ となります。

$-\sin \theta + \sqrt{3}\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta + \frac{2}{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{2}-\pi) = -\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$

したがって、$a\sin\theta + b\sin(\theta - \pi) = -\sin \theta + \sqrt{3}\cos\theta$

これを、$A\sin\theta + B\sin(\theta - \pi)$ の形で表すと、

$-\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta = A\sin\theta + B\sin(\theta - \pi) = A\sin\theta - B\sin\theta = (A - B)\sin\theta$

$\sqrt{3}\cos\theta -\sin\theta$

$A - B = -1$ ですが、与えられた形式にするには、

$-\sin\theta + \sqrt{3} \cos\theta = 2(-\frac{1}{2}\sin\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta) = 2\sin(\theta + \frac{2\pi}{3})$

求める形式は $A\sin\theta + B\sin(\theta - \pi) = A\sin\theta - B\sin\theta = (A - B)\sin\theta$ です。ここで$A-B$の値が元の式の係数 $-\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ に等しくなるようにします。

$2\sqrt{3} \sin(\theta+\frac{\pi}{6})-4\sin(\theta)=-\sin(\theta)+\sqrt{3}\cos(\theta)$

$\sin(\theta+\frac{2\pi}{3})$

(2) 右側の式: $\sqrt{3}\sin(\theta + \frac{5\pi}{6}) + 2\sin\theta$ を変形します。

$\sin(\theta + \frac{5\pi}{6}) = \sin\theta\cos\frac{5\pi}{6} + \cos\theta\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\theta(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \cos\theta(\frac{1}{2})$

これを元の式に代入すると、

$\sqrt{3}(-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta + \frac{1}{2}\cos\theta) + 2\sin\theta = -\frac{3}{2}\sin\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta + 2\sin\theta = \frac{1}{2}\sin\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta$

$\frac{1}{2}\sin\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta = \sin(\theta + \frac{\pi}{3})$

したがって、右辺の式は $\frac{1}{2} \sin\theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos\theta$ となり、

$\frac{1}{2} \sin\theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos\theta = A\sin\theta - B\sin\theta = (A - B)\sin\theta$ を満たす必要があります。

与えられた形に合わせると， $\frac{\sqrt{3}}{2} \cos\theta+\frac{1}{2}\sin(\theta)=\sin(\theta+\pi/3)$

3. 最終的な答え

左側の式：$-\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta=A\sin\theta + B\sin(\theta - \pi)$,　右側の式：$\frac{1}{2}\sin\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta=\sin(\theta+\frac{\pi}{3})$

右側の式について、$a = \frac{1}{2}, b = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

\sin(\theta+\pi/3)=a\sin\theta +b\cos\theta= \sin\theta(\sqrt3 \over 2)+\sin(\theta+\pi)(-\sqrt3 \over 2).

左側の式：

$2 \sqrt{3} \sin(\theta + \frac{\pi}{6}) - 4\sin(\theta) = \sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta -4 \sin \theta = -\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (\theta + \frac{\pi}{3})$

答えの形式は次のようになります。

左側の式: $(\frac{\sqrt{3}}{2}) \sin(\theta)-(\frac{\sqrt{3}}{2}) \sin(\theta-\pi)$

右側の式: $(\frac{1}{2}) \sin(\theta)+(\frac{\sqrt{3}}{2}) \sin(\theta-\pi)$