問題3は、極限 $\lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2} \int_2^x \sqrt{t^2 + 4} dt$ を求める問題です。 問題4は、関数 $F(x) = \int_a^x (x-t)f'(t)dt$ を微分する問題です。ただし、$a$ は定数です。

はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

問題3は、極限 $\lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2} \int_2^x \sqrt{t^2 + 4} dt$ を求める問題です。

問題4は、関数 $F(x) = \int_a^x (x-t)f'(t)dt$ を微分する問題です。ただし、$a$ は定数です。

2. 解き方の手順

**問題3**

与えられた極限は不定形 $\frac{0}{0}$ の形なので、ロピタルの定理を使うことができます。

$f(x) = \int_2^x \sqrt{t^2 + 4} dt$ とおくと、$f(2) = 0$ です。

$\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2}$ を求めることになります。

ロピタルの定理より、

$\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{f'(x)}{1}$

ここで、微積分学の基本定理より $f'(x) = \sqrt{x^2 + 4}$ です。

したがって、

$\lim_{x \to 2} \frac{f'(x)}{1} = \lim_{x \to 2} \sqrt{x^2 + 4} = \sqrt{2^2 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

**問題4**

$F(x) = \int_a^x (x-t)f'(t)dt$ を微分します。

$F(x) = x \int_a^x f'(t) dt - \int_a^x tf'(t) dt$

$F'(x) = \int_a^x f'(t) dt + x f'(x) - x f'(x) = \int_a^x f'(t) dt$

$\int_a^x f'(t) dt = f(x) - f(a)$

したがって、

$F'(x) = f(x) - f(a)$

3. 最終的な答え

問題3の答え：$2\sqrt{2}$

問題4の答え：$f(x) - f(a)$