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関数 $f(x) = \sqrt{x-1}$ の導関数を求めよ。

解析学導関数微分合成関数の微分法ルート関数
2025/6/16

1. 問題の内容

関数 f(x)=x−1f(x) = \sqrt{x-1} の導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、f(x)f(x) を指数関数として書き換えます。
f(x)=(x−1)1/2f(x) = (x-1)^{1/2}
次に、合成関数の微分法（チェーンルール）を使います。
f′(x)=12(x−1)12−1⋅(x−1)′f'(x) = \frac{1}{2} (x-1)^{\frac{1}{2} - 1} \cdot (x-1)'
(x−1)(x-1) の微分は 11 なので、
f′(x)=12(x−1)−12⋅1f'(x) = \frac{1}{2} (x-1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 1
f′(x)=12x−1f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x-1}}

3. 最終的な答え

f′(x)=12x−1f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x-1}}

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