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与えられた4つの関数について、増減と極値を調べてグラフを描く問題です。 (1) $y = x^3 - 3x - 2$ (2) $y = x^3 - 3x^2 + 8$ (3) $y = -x^4 + 2x^2 - 1$ (4) $y = 3x^4 - 4x^3$

解析学微分増減極値グラフ
2025/6/16

1. 問題の内容

与えられた4つの関数について、増減と極値を調べてグラフを描く問題です。
(1) y=x3−3x−2y = x^3 - 3x - 2
(2) y=x3−3x2+8y = x^3 - 3x^2 + 8
(3) y=−x4+2x2−1y = -x^4 + 2x^2 - 1
(4) y=3x4−4x3y = 3x^4 - 4x^3

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順で増減と極値を調べます。
(1) 導関数 y′y' を求めます。
(2) y′=0y' = 0 となる xx の値を求めます。これらの xx の値は、極値を取る可能性のある点です。
(3) 増減表を作成します。増減表では、xx の値を小さい順に並べ、それぞれの区間における y′y' の符号を調べます。
- y′>0y' > 0 のとき、yy は増加します。
- y′<0y' < 0 のとき、yy は減少します。
- y′=0y' = 0 のとき、yy は極値を取る可能性があります。
(4) 極大値、極小値を求めます。
(5) 得られた情報をもとにグラフを描きます。
(1) y=x3−3x−2y = x^3 - 3x - 2
y′=3x2−3=3(x2−1)=3(x−1)(x+1)y' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1)
y′=0y' = 0 となるのは x=−1,1x = -1, 1 のとき。
増減表：
| x | ... | -1 | ... | 1 | ... |
|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
| y' | + | 0 | - | 0 | + |
| y | ↑ | 0 | ↓ | -4 | ↑ |
極大値：x=−1x = -1 のとき、y=(−1)3−3(−1)−2=−1+3−2=0y = (-1)^3 - 3(-1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0
極小値：x=1x = 1 のとき、y=(1)3−3(1)−2=1−3−2=−4y = (1)^3 - 3(1) - 2 = 1 - 3 - 2 = -4
(2) y=x3−3x2+8y = x^3 - 3x^2 + 8
y′=3x2−6x=3x(x−2)y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)
y′=0y' = 0 となるのは x=0,2x = 0, 2 のとき。
増減表：
| x | ... | 0 | ... | 2 | ... |
|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
| y' | + | 0 | - | 0 | + |
| y | ↑ | 8 | ↓ | 4 | ↑ |
極大値：x=0x = 0 のとき、y=(0)3−3(0)2+8=8y = (0)^3 - 3(0)^2 + 8 = 8
極小値：x=2x = 2 のとき、y=(2)3−3(2)2+8=8−12+8=4y = (2)^3 - 3(2)^2 + 8 = 8 - 12 + 8 = 4
(3) y=−x4+2x2−1y = -x^4 + 2x^2 - 1
y′=−4x3+4x=−4x(x2−1)=−4x(x−1)(x+1)y' = -4x^3 + 4x = -4x(x^2 - 1) = -4x(x - 1)(x + 1)
y′=0y' = 0 となるのは x=−1,0,1x = -1, 0, 1 のとき。
増減表：
| x | ... | -1 | ... | 0 | ... | 1 | ... |
|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
| y' | + | 0 | - | 0 | + | 0 | - |
| y | ↑ | 0 | ↓ | -1 | ↑ | 0 | ↓ |
極大値：x=−1x = -1 のとき、y=−(−1)4+2(−1)2−1=−1+2−1=0y = -(-1)^4 + 2(-1)^2 - 1 = -1 + 2 - 1 = 0
極小値：x=0x = 0 のとき、y=−(0)4+2(0)2−1=−1y = -(0)^4 + 2(0)^2 - 1 = -1
極大値：x=1x = 1 のとき、y=−(1)4+2(1)2−1=−1+2−1=0y = -(1)^4 + 2(1)^2 - 1 = -1 + 2 - 1 = 0
(4) y=3x4−4x3y = 3x^4 - 4x^3
y′=12x3−12x2=12x2(x−1)y' = 12x^3 - 12x^2 = 12x^2(x - 1)
y′=0y' = 0 となるのは x=0,1x = 0, 1 のとき。
増減表：
| x | ... | 0 | ... | 1 | ... |
|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
| y' | - | 0 | - | 0 | + |
| y | ↓ | 0 | ↓ | -1 | ↑ |
極小値：x=1x = 1 のとき、y=3(1)4−4(1)3=3−4=−1y = 3(1)^4 - 4(1)^3 = 3 - 4 = -1
x=0x = 0 のとき、y=0y = 0 ですが、x=0x=0 の前後で y′y' の符号が変わらないため、極値ではありません。

3. 最終的な答え

(1) 極大値：x=−1x = -1 のとき、y=0y = 0。極小値：x=1x = 1 のとき、y=−4y = -4。
(2) 極大値：x=0x = 0 のとき、y=8y = 8。極小値：x=2x = 2 のとき、y=4y = 4。
(3) 極大値：x=−1x = -1 のとき、y=0y = 0。極小値：x=0x = 0 のとき、y=−1y = -1。極大値：x=1x = 1 のとき、y=0y = 0。
(4) 極小値：x=1x = 1 のとき、y=−1y = -1。

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