与えられた6つの積分問題を解く。 (1) $\int xe^{x^2} dx$ (2) $\int \frac{\log x}{x} dx$ (3) $\int e^{e^x + x} dx$ (4) $\int \frac{x^3}{1+x^8} dx$ (5) $\int \frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx$ (6) $\int \frac{x}{\sqrt{1-x^4}} dx$

1. 問題の内容

与えられた6つの積分問題を解く。

(1) $\int xe^{x^2} dx$

(2) $\int \frac{\log x}{x} dx$

(3) $\int e^{e^x + x} dx$

(4) $\int \frac{x^3}{1+x^8} dx$

(5) $\int \frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx$

(6) $\int \frac{x}{\sqrt{1-x^4}} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int xe^{x^2} dx$

$u = x^2$ と置換すると $du = 2x dx$ より $x dx = \frac{1}{2} du$。

$\int xe^{x^2} dx = \int e^u \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int e^u du = \frac{1}{2} e^u + C = \frac{1}{2} e^{x^2} + C$

(2) $\int \frac{\log x}{x} dx$

$u = \log x$ と置換すると $du = \frac{1}{x} dx$。

$\int \frac{\log x}{x} dx = \int u du = \frac{1}{2} u^2 + C = \frac{1}{2} (\log x)^2 + C$

(3) $\int e^{e^x + x} dx = \int e^{e^x} e^x dx$

$u = e^x$ と置換すると $du = e^x dx$。

$\int e^{e^x} e^x dx = \int e^u du = e^u + C = e^{e^x} + C$

(4) $\int \frac{x^3}{1+x^8} dx$

$u = x^4$ と置換すると $du = 4x^3 dx$ より $x^3 dx = \frac{1}{4} du$。

$\int \frac{x^3}{1+x^8} dx = \int \frac{1}{1+u^2} \frac{1}{4} du = \frac{1}{4} \int \frac{1}{1+u^2} du = \frac{1}{4} \arctan u + C = \frac{1}{4} \arctan (x^4) + C$

(5) $\int \frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx$

$u = \sqrt{x}$ と置換すると $du = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx$ より $\frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2 du$。

$\int \frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx = \int \sin u \cdot 2 du = 2 \int \sin u du = -2 \cos u + C = -2 \cos \sqrt{x} + C$

(6) $\int \frac{x}{\sqrt{1-x^4}} dx$

$u = x^2$ と置換すると $du = 2x dx$ より $x dx = \frac{1}{2} du$。

$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^4}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} du = \frac{1}{2} \arcsin u + C = \frac{1}{2} \arcsin (x^2) + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2} e^{x^2} + C$

(2) $\frac{1}{2} (\log x)^2 + C$

(3) $e^{e^x} + C$

(4) $\frac{1}{4} \arctan (x^4) + C$

(5) $-2 \cos \sqrt{x} + C$

(6) $\frac{1}{2} \arcsin (x^2) + C$