与えられた関数を微分せよ。問題は(2), (4), (6), (11)の4つです。 (2) $y = e^{-2x}$ (4) $y = 5^x$ (6) $y = 5e^{2x+3}$ (11) $\phi(x) = \frac{x}{e^x}$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分せよ。問題は(2), (4), (6), (11)の4つです。

(2) $y = e^{-2x}$

(4) $y = 5^x$

(6) $y = 5e^{2x+3}$

(11) $\phi(x) = \frac{x}{e^x}$

2. 解き方の手順

(2) $y = e^{-2x}$

合成関数の微分を行います。$u = -2x$ とおくと、$y = e^u$となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = e^u$

$\frac{du}{dx} = -2$

よって、

$\frac{dy}{dx} = e^u \cdot (-2) = -2e^{-2x}$

(4) $y = 5^x$

指数関数の微分を行います。

$y = a^x$ の微分は $\frac{dy}{dx} = a^x \ln a$です。

よって、

$\frac{dy}{dx} = 5^x \ln 5$

(6) $y = 5e^{2x+3}$

合成関数の微分を行います。$u = 2x+3$ とおくと、$y = 5e^u$となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 5e^u$

$\frac{du}{dx} = 2$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 5e^u \cdot 2 = 10e^{2x+3}$

(11) $\phi(x) = \frac{x}{e^x}$

商の微分を行います。

$\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$u = x$, $v = e^x$ とおくと、

$u' = 1$, $v' = e^x$

よって、

$\phi'(x) = \frac{1 \cdot e^x - x \cdot e^x}{(e^x)^2} = \frac{e^x - xe^x}{e^{2x}} = \frac{e^x(1-x)}{e^{2x}} = \frac{1-x}{e^x}$

3. 最終的な答え

(2) $\frac{dy}{dx} = -2e^{-2x}$

(4) $\frac{dy}{dx} = 5^x \ln 5$

(6) $\frac{dy}{dx} = 10e^{2x+3}$

(11) $\phi'(x) = \frac{1-x}{e^x}$