与えられた関数とその区間に対して、平均値の定理を満たす $c$ の値を求める。 (1) $f(x) = x^3 - 3x^2$, 区間 $[-2, 1]$ (2) $f(x) = e^x$, 区間 $[0, 1]$

1. 問題の内容

与えられた関数とその区間に対して、平均値の定理を満たす $c$ の値を求める。

(1) $f(x) = x^3 - 3x^2$, 区間 $[-2, 1]$

(2) $f(x) = e^x$, 区間 $[0, 1]$

2. 解き方の手順

平均値の定理とは、$f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$ を満たす $c$ が区間 $(a, b)$ に存在するという定理である。

(1) $f(x) = x^3 - 3x^2$, 区間 $[-2, 1]$

$f'(x) = 3x^2 - 6x$

$f(1) = 1^3 - 3(1)^2 = 1 - 3 = -2$

$f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 = -8 - 12 = -20$

平均値の定理より、

$f(1) - f(-2) = f'(c)(1 - (-2))$

$-2 - (-20) = (3c^2 - 6c)(3)$

$18 = 9c^2 - 18c$

$9c^2 - 18c - 18 = 0$

$c^2 - 2c - 2 = 0$

$c = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(-2)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$

区間 $(-2, 1)$ に含まれる $c$ は、$c = 1 - \sqrt{3}$。 $1 - \sqrt{3} \approx 1 - 1.732 = -0.732$。

(2) $f(x) = e^x$, 区間 $[0, 1]$

$f'(x) = e^x$

$f(1) = e^1 = e$

$f(0) = e^0 = 1$

平均値の定理より、

$f(1) - f(0) = f'(c)(1 - 0)$

$e - 1 = e^c(1)$

$e^c = e - 1$

$c = \ln(e - 1)$

区間 $(0, 1)$ に含まれるか確認する。

$e \approx 2.718$ より、$e - 1 \approx 1.718$

$\ln(1) = 0$, $\ln(e) = 1$ なので、$0 < \ln(e - 1) < 1$。

3. 最終的な答え

(1) $c = 1 - \sqrt{3}$

(2) $c = \ln(e - 1)$