与えられた関数 $y = \frac{1}{3x-1}$ （ただし $x > \frac{1}{3}$）の逆関数の導関数を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{1}{3x-1}$ （ただし $x > \frac{1}{3}$）の逆関数の導関数を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y = \frac{1}{3x-1}$ から $x$ を $y$ で表します。

$y = \frac{1}{3x-1}$

$y(3x-1) = 1$

$3xy - y = 1$

$3xy = 1 + y$

$x = \frac{1+y}{3y}$

これが逆関数です。

次に、逆関数 $x = \frac{1+y}{3y}$ を $y$ で微分します。

$\frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy} (\frac{1+y}{3y})$

商の微分公式 $\frac{d}{dy} \frac{u}{v} = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。ここで $u = 1+y$、 $v = 3y$ とすると、$u' = 1$、 $v' = 3$ です。

$\frac{dx}{dy} = \frac{1 \cdot 3y - (1+y) \cdot 3}{(3y)^2} = \frac{3y - 3 - 3y}{9y^2} = \frac{-3}{9y^2} = \frac{-1}{3y^2}$

問題で求められているのは $y'$ 、つまり $\frac{dy}{dx}$ です。逆関数の微分法より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{-1}{3y^2}} = -3y^2$

ここで、$y = \frac{1}{3x-1}$ を代入します。

$\frac{dy}{dx} = -3 (\frac{1}{3x-1})^2 = \frac{-3}{(3x-1)^2}$

3. 最終的な答え

最終的な答えは $\frac{-3}{(3x-1)^2}$ です。したがって、選択肢 (3) が正しいです。