与えられた3つの集合に対して、それぞれの最大値と最小値を求めます。 (1) $A = [-5, 3)$ (2) $A = \{1 + \frac{1}{n} | n = 1, 2, 3, ...\}$ (3) $A = \{\frac{1}{n} - n | n = 1, 2, 3, ...\}$

1. 問題の内容

与えられた3つの集合に対して、それぞれの最大値と最小値を求めます。

(1) $A = [-5, 3)$

(2) $A = \{1 + \frac{1}{n} | n = 1, 2, 3, ...\}$

(3) $A = \{\frac{1}{n} - n | n = 1, 2, 3, ...\}$

2. 解き方の手順

(1) $A = [-5, 3)$ について：

この集合は$-5$以上、$3$未満の実数全体です。最小値は$-5$で、最大値は$3$に近い値ですが、$3$は含まれないので、最大値は存在しません。上限は3です。

(2) $A = \{1 + \frac{1}{n} | n = 1, 2, 3, ...\}$ について：

$n$が大きくなるにつれて、$\frac{1}{n}$は$0$に近づきます。したがって、$1 + \frac{1}{n}$は$1$に近づきます。

$n = 1$のとき、$1 + \frac{1}{1} = 2$となります。

$n$が大きくなるほど、$1 + \frac{1}{n}$は小さくなりますが、$1$よりは大きいです。

したがって、最大値は$2$で、最小値は存在せず下限は$1$です。

(3) $A = \{\frac{1}{n} - n | n = 1, 2, 3, ...\}$ について：

$n = 1$のとき、$\frac{1}{1} - 1 = 0$となります。

$n = 2$のとき、$\frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2} = -1.5$となります。

$n = 3$のとき、$\frac{1}{3} - 3 = -\frac{8}{3} \approx -2.67$となります。

$n$が大きくなるにつれて、$\frac{1}{n}$は$0$に近づき、$\frac{1}{n} - n$は負の方向に大きくなります。

したがって、最大値は$0$で、最小値は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) $A = [-5, 3)$：

- 最小値: $-5$

- 最大値: 存在しない (上限は $3$)

(2) $A = \{1 + \frac{1}{n} | n = 1, 2, 3, ...\}$：

- 最大値: $2$

- 最小値: 存在しない (下限は $1$)

(3) $A = \{\frac{1}{n} - n | n = 1, 2, 3, ...\}$：

- 最大値: $0$

- 最小値: 存在しない