以下の5つの定積分の値を求める問題です。 (1) $\int_{0}^{1} \frac{dx}{x+1}$ (2) $\int_{0}^{1} \frac{dx}{3+x^2}$ (3) $\int_{-1}^{1} e^{-4x} dx$ (4) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin 2x + \cos 2x) dx$ (5) $\int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{3\sqrt{3}}{2}} \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}}$

はい、承知いたしました。画像にある5つの定積分問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の5つの定積分の値を求める問題です。

(1) $\int_{0}^{1} \frac{dx}{x+1}$

(2) $\int_{0}^{1} \frac{dx}{3+x^2}$

(3) $\int_{-1}^{1} e^{-4x} dx$

(4) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin 2x + \cos 2x) dx$

(5) $\int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{3\sqrt{3}}{2}} \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}}$

2. 解き方の手順

(1)

$\int_{0}^{1} \frac{dx}{x+1}$ は基本的な積分です。

$\int \frac{1}{x+1} dx = \ln|x+1| + C$ なので、

$\int_{0}^{1} \frac{dx}{x+1} = [\ln|x+1|]_{0}^{1} = \ln(2) - \ln(1) = \ln 2$

(2)

$\int_{0}^{1} \frac{dx}{3+x^2} = \int_{0}^{1} \frac{dx}{(\sqrt{3})^2+x^2}$

$\int \frac{1}{a^2+x^2} dx = \frac{1}{a} \arctan(\frac{x}{a}) + C$ を用いると、

$\int_{0}^{1} \frac{dx}{3+x^2} = \frac{1}{\sqrt{3}} [\arctan(\frac{x}{\sqrt{3}})]_{0}^{1} = \frac{1}{\sqrt{3}} (\arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) - \arctan(0)) = \frac{1}{\sqrt{3}} (\frac{\pi}{6} - 0) = \frac{\pi}{6\sqrt{3}} = \frac{\pi\sqrt{3}}{18}$

(3)

$\int_{-1}^{1} e^{-4x} dx$

$\int e^{-4x} dx = -\frac{1}{4}e^{-4x} + C$

$\int_{-1}^{1} e^{-4x} dx = [-\frac{1}{4}e^{-4x}]_{-1}^{1} = -\frac{1}{4}(e^{-4} - e^{4}) = \frac{1}{4}(e^4 - e^{-4})$

(4)

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin 2x + \cos 2x) dx$

$\int \sin 2x dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + C$

$\int \cos 2x dx = \frac{1}{2}\sin 2x + C$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin 2x + \cos 2x) dx = [-\frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{2}\sin 2x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = (-\frac{1}{2}\cos \pi + \frac{1}{2}\sin \pi) - (-\frac{1}{2}\cos 0 + \frac{1}{2}\sin 0) = (-\frac{1}{2}(-1) + 0) - (-\frac{1}{2}(1) + 0) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

(5)

$\int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{3\sqrt{3}}{2}} \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}}$

$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin(\frac{x}{a}) + C$ を用いると、

$\int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{3\sqrt{3}}{2}} \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}} = [\arcsin(\frac{x}{3})]_{-\frac{3}{2}}^{\frac{3\sqrt{3}}{2}} = \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) - \arcsin(-\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3} - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\ln 2$

(2) $\frac{\pi\sqrt{3}}{18}$

(3) $\frac{1}{4}(e^4 - e^{-4})$

(4) $1$

(5) $\frac{\pi}{2}$