$\lim_{x\to 0} \frac{\arctan x}{x}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x\to 0} \frac{\arctan x}{x}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

この極限は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使うことができます。

$\arctan x$ の微分は $\frac{1}{1+x^2}$ です。

よって、ロピタルの定理より

$\lim_{x\to 0} \frac{\arctan x}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{1+x^2}}{1} = \lim_{x\to 0} \frac{1}{1+x^2}$

$x$ が 0 に近づくとき、$1+x^2$ は 1 に近づくので、

$\lim_{x\to 0} \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1+0^2} = \frac{1}{1} = 1$

3. 最終的な答え

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