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与えられた5つの定積分の値を求める問題です。 (1) $\int_{0}^{2} (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) dx$ (2) $\int_{1}^{4} \frac{1}{x^2} dx$ (3) $\int_{2}^{9} \sqrt{x} dx$ (4) $\int_{0}^{1} \sqrt[4]{x^3} dx$ (5) $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sec^2 2x dx$

解析学定積分積分積分計算
2025/6/16

1. 問題の内容

与えられた5つの定積分の値を求める問題です。
(1) ∫02(x4+x3+x2+x+1)dx\int_{0}^{2} (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) dx
(2) ∫141x2dx\int_{1}^{4} \frac{1}{x^2} dx
(3) ∫29xdx\int_{2}^{9} \sqrt{x} dx
(4) ∫01x34dx\int_{0}^{1} \sqrt[4]{x^3} dx
(5) ∫0π6sec⁡22xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sec^2 2x dx

2. 解き方の手順

(1)
∫02(x4+x3+x2+x+1)dx\int_{0}^{2} (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) dx
=[x55+x44+x33+x22+x]02= [\frac{x^5}{5} + \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x]_{0}^{2}
=(255+244+233+222+2)−(0)= (\frac{2^5}{5} + \frac{2^4}{4} + \frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2) - (0)
=325+164+83+42+2= \frac{32}{5} + \frac{16}{4} + \frac{8}{3} + \frac{4}{2} + 2
=325+4+83+2+2= \frac{32}{5} + 4 + \frac{8}{3} + 2 + 2
=325+83+8= \frac{32}{5} + \frac{8}{3} + 8
=32×3+8×5+8×1515= \frac{32 \times 3 + 8 \times 5 + 8 \times 15}{15}
=96+40+12015= \frac{96 + 40 + 120}{15}
=25615= \frac{256}{15}
(2)
∫141x2dx=∫14x−2dx\int_{1}^{4} \frac{1}{x^2} dx = \int_{1}^{4} x^{-2} dx
=[x−1−1]14=[−1x]14= [\frac{x^{-1}}{-1}]_{1}^{4} = [-\frac{1}{x}]_{1}^{4}
=−14−(−11)= -\frac{1}{4} - (-\frac{1}{1})
=−14+1=34= -\frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{4}
(3)
∫29xdx=∫29x12dx\int_{2}^{9} \sqrt{x} dx = \int_{2}^{9} x^{\frac{1}{2}} dx
=[x3232]29=[23x32]29= [\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}]_{2}^{9} = [\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}]_{2}^{9}
=23(932)−23(232)= \frac{2}{3}(9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3}(2^{\frac{3}{2}})
=23((9)3)−23(22)= \frac{2}{3}((\sqrt{9})^3) - \frac{2}{3}(2\sqrt{2})
=23(33)−423= \frac{2}{3}(3^3) - \frac{4\sqrt{2}}{3}
=23(27)−423=18−423= \frac{2}{3}(27) - \frac{4\sqrt{2}}{3} = 18 - \frac{4\sqrt{2}}{3}
=54−423= \frac{54 - 4\sqrt{2}}{3}
(4)
∫01x34dx=∫01x34dx\int_{0}^{1} \sqrt[4]{x^3} dx = \int_{0}^{1} x^{\frac{3}{4}} dx
=[x7474]01=[47x74]01= [\frac{x^{\frac{7}{4}}}{\frac{7}{4}}]_{0}^{1} = [\frac{4}{7}x^{\frac{7}{4}}]_{0}^{1}
=47(174)−47(074)= \frac{4}{7}(1^{\frac{7}{4}}) - \frac{4}{7}(0^{\frac{7}{4}})
=47−0=47= \frac{4}{7} - 0 = \frac{4}{7}
(5)
∫0π6sec⁡22xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sec^2 2x dx
∫sec⁡2xdx=tan⁡x+C\int \sec^2 x dx = \tan x + C
∫sec⁡22xdx=12tan⁡2x+C\int \sec^2 2x dx = \frac{1}{2} \tan 2x + C
=[12tan⁡2x]0π6= [\frac{1}{2} \tan 2x]_{0}^{\frac{\pi}{6}}
=12tan⁡(2⋅π6)−12tan⁡(0)= \frac{1}{2} \tan (2 \cdot \frac{\pi}{6}) - \frac{1}{2} \tan (0)
=12tan⁡(π3)−12⋅0= \frac{1}{2} \tan (\frac{\pi}{3}) - \frac{1}{2} \cdot 0
=123=32= \frac{1}{2} \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}

3. 最終的な答え

(1) 25615\frac{256}{15}
(2) 34\frac{3}{4}
(3) 54−423\frac{54 - 4\sqrt{2}}{3}
(4) 47\frac{4}{7}
(5) 32\frac{\sqrt{3}}{2}

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