与えられた式を簡略化します。式は $sin(\theta + \frac{4}{3}\pi) + \frac{1}{\sqrt{2}}cos(\theta + \frac{\pi}{4})$ です。

1. 問題の内容

与えられた式を簡略化します。式は

$sin(\theta + \frac{4}{3}\pi) + \frac{1}{\sqrt{2}}cos(\theta + \frac{\pi}{4})$

です。

2. 解き方の手順

まず、$sin(\theta + \frac{4}{3}\pi)$ と $cos(\theta + \frac{\pi}{4})$ を加法定理を用いて展開します。

$sin(\theta + \frac{4}{3}\pi) = sin(\theta)cos(\frac{4}{3}\pi) + cos(\theta)sin(\frac{4}{3}\pi)$

$cos(\theta + \frac{\pi}{4}) = cos(\theta)cos(\frac{\pi}{4}) - sin(\theta)sin(\frac{\pi}{4})$

ここで、$cos(\frac{4}{3}\pi) = -\frac{1}{2}$, $sin(\frac{4}{3}\pi) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ です。

したがって、

$sin(\theta + \frac{4}{3}\pi) = -\frac{1}{2}sin(\theta) - \frac{\sqrt{3}}{2}cos(\theta)$

$cos(\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}cos(\theta) - \frac{1}{\sqrt{2}}sin(\theta)$

与えられた式に代入します。

$sin(\theta + \frac{4}{3}\pi) + \frac{1}{\sqrt{2}}cos(\theta + \frac{\pi}{4}) = (-\frac{1}{2}sin(\theta) - \frac{\sqrt{3}}{2}cos(\theta)) + \frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{1}{\sqrt{2}}cos(\theta) - \frac{1}{\sqrt{2}}sin(\theta))$

$= -\frac{1}{2}sin(\theta) - \frac{\sqrt{3}}{2}cos(\theta) + \frac{1}{2}cos(\theta) - \frac{1}{2}sin(\theta)$

$= -sin(\theta) + (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2})cos(\theta)$

$= -sin(\theta) + \frac{1 - \sqrt{3}}{2}cos(\theta)$

3. 最終的な答え

$-sin(\theta) + \frac{1 - \sqrt{3}}{2}cos(\theta)$