## 問題の回答

## 問題の回答

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1. 問題の内容

与えられた関数の導関数を求める問題です。ここでは、問題1の(1)から(12)の関数と、問題2の(1)の関数について、導関数を計算します。

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2. 解き方の手順

#### 問題1

**(1) $y = (x^2 + 1)^5(x^3 - 2)^3$**

積の微分法を用います。$(uv)' = u'v + uv'$

$u = (x^2 + 1)^5$, $v = (x^3 - 2)^3$ とすると、

$u' = 5(x^2 + 1)^4(2x) = 10x(x^2 + 1)^4$

$v' = 3(x^3 - 2)^2(3x^2) = 9x^2(x^3 - 2)^2$

よって、

$y' = u'v + uv' = 10x(x^2 + 1)^4(x^3 - 2)^3 + (x^2 + 1)^5(9x^2)(x^3 - 2)^2$

$y' = x(x^2+1)^4 (x^3-2)^2 [10(x^3-2) + 9x(x^2+1)] = x(x^2+1)^4(x^3-2)^2(19x^3 + 9x -20)$

**(2) $y = \log(\log x)$**

合成関数の微分法を用います。$\frac{d}{dx} \log(f(x)) = \frac{f'(x)}{f(x)}$

$y' = \frac{\frac{1}{x}}{\log x} = \frac{1}{x \log x}$

**(3) $y = 2^x$**

$a^x$ の微分公式: $(a^x)' = a^x \log a$ を用います。

$y' = 2^x \log 2$

**(4) $y = x^3(x^2 + 1)^{3/2}$**

積の微分法と合成関数の微分法を用います。

$y' = 3x^2(x^2 + 1)^{3/2} + x^3 \cdot \frac{3}{2}(x^2 + 1)^{1/2}(2x) = 3x^2(x^2 + 1)^{3/2} + 3x^4(x^2 + 1)^{1/2}$

$y' = 3x^2(x^2 + 1)^{1/2}(x^2 + 1 + x^2) = 3x^2(x^2 + 1)^{1/2}(2x^2 + 1)$

**(5) $y = e^{x^x}$**

$y = e^{f(x)}$ のとき、$y' = e^{f(x)}f'(x)$

まず、$z=x^x$ を考える。両辺の自然対数をとると、$\log z = x\log x$.

両辺を$x$で微分すると $\frac{1}{z} \frac{dz}{dx} = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$.

$\frac{dz}{dx} = z (\log x + 1) = x^x (\log x + 1)$.

$y' = e^{x^x} x^x (\log x + 1)$

**(6) $y = (\sin x)^{\cos x}$**

両辺の自然対数をとると、$\log y = \cos x \log(\sin x)$.

両辺を$x$で微分すると、$\frac{1}{y} y' = -\sin x \log(\sin x) + \cos x \frac{\cos x}{\sin x} = -\sin x \log(\sin x) + \frac{\cos^2 x}{\sin x}$.

$y' = (\sin x)^{\cos x} \left( -\sin x \log(\sin x) + \frac{\cos^2 x}{\sin x} \right)$

**(7) $y = \arctan \left( \frac{1 - x^2}{1 + x^2} \right)$**

$\arctan x$ の微分は $\frac{1}{1+x^2}$. 合成関数の微分を用いる。

$y' = \frac{1}{1 + (\frac{1-x^2}{1+x^2})^2} \cdot \frac{(-2x)(1+x^2) - (1-x^2)(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{1}{1 + \frac{(1-x^2)^2}{(1+x^2)^2}} \cdot \frac{-2x - 2x^3 - 2x + 2x^3}{(1+x^2)^2}$

$y' = \frac{(1+x^2)^2}{(1+x^2)^2 + (1-x^2)^2} \cdot \frac{-4x}{(1+x^2)^2} = \frac{-4x}{(1+2x^2+x^4) + (1-2x^2+x^4)} = \frac{-4x}{2 + 2x^4} = \frac{-2x}{1+x^4}$

**(8) $y = \sqrt{1+2\log x}$**

合成関数の微分を用いる。

$y' = \frac{1}{2\sqrt{1+2\log x}} \cdot \frac{2}{x} = \frac{1}{x\sqrt{1+2\log x}}$

**(9) $y = \arcsin \left( \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right)$**

$\arcsin x$ の微分は $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$. 合成関数の微分を用いる。

$y' = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{\sqrt{1+x^2}})^2}} \cdot \frac{\sqrt{1+x^2} - x \cdot \frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^2}{1+x^2}}} \cdot \frac{\sqrt{1+x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}$

$= \frac{1}{\sqrt{\frac{1+x^2-x^2}{1+x^2}}} \cdot \frac{\frac{1+x^2-x^2}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2} = \frac{\sqrt{1+x^2}}{1} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+x^2}(1+x^2)} = \frac{1}{1+x^2}$

**(10) $y = 2\arccos \sqrt{\frac{x+1}{2}}$**

$\arccos x$ の微分は $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$. 合成関数の微分を用いる。

$y' = 2 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x+1}{2}}}\right) \cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x+1}{2}}} = -\frac{1}{\sqrt{1-\frac{x+1}{2}}\sqrt{\frac{x+1}{2}}} = -\frac{1}{\sqrt{\frac{2-x-1}{2}}\sqrt{\frac{x+1}{2}}} = -\frac{1}{\sqrt{\frac{1-x}{2}}\sqrt{\frac{x+1}{2}}} = -\frac{1}{\sqrt{\frac{1-x^2}{4}}} = -\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}$

**(11) $y = \sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}$**

対数微分法を用いる。

$\log y = \frac{1}{2} (\log(x-1) + \log(x-2) - \log(x-3) - \log(x-4))$

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-4})$

$y' = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}} (\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-4})$

**(12) $y = x\sqrt{a^2 - x^2} + a^2 \arcsin \frac{x}{a}$**

$y' = \sqrt{a^2 - x^2} + x \frac{-2x}{2\sqrt{a^2 - x^2}} + a^2 \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}}} \frac{1}{a} = \sqrt{a^2 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} + \frac{a}{\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}}} = \sqrt{a^2 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} + \frac{a}{\frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a}} = \sqrt{a^2 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} + \frac{a^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \frac{a^2 - x^2 - x^2 + a^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \frac{2(a^2-x^2)}{\sqrt{a^2 - x^2}} = 2\sqrt{a^2 - x^2}$

#### 問題2

**(1) $y = x \log x$ ($x=1$ における接線)**

まず導関数を求めます。

$y' = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

次に、$x = 1$ における $y'$ の値を求めます。

$y'(1) = \log 1 + 1 = 0 + 1 = 1$

$x = 1$ における $y$ の値を求めます。

$y(1) = 1 \cdot \log 1 = 1 \cdot 0 = 0$

よって、$x = 1$ における接線の方程式は、

$y - 0 = 1(x - 1)$

$y = x - 1$

**(2) $y = \arctan\frac{x^2}{2}$ ($x = \sqrt{2}$ における接線)**

$y' = \frac{1}{1+\left(\frac{x^2}{2}\right)^2}\cdot \frac{2x}{2}=\frac{1}{1+\frac{x^4}{4}}\cdot x = \frac{x}{\frac{4+x^4}{4}} = \frac{4x}{4+x^4}$

$y'(\sqrt{2}) = \frac{4\sqrt{2}}{4+4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$y(\sqrt{2}) = \arctan\frac{2}{2} = \arctan 1 = \frac{\pi}{4}$

接線は $y-\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} (x-\sqrt{2})$

$y = \frac{\sqrt{2}}{2}x -1 + \frac{\pi}{4}$

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3. 最終的な答え

#### 問題1

(1) $y' = x(x^2+1)^4(x^3-2)^2(19x^3 + 9x -20)$

(2) $y' = \frac{1}{x \log x}$

(3) $y' = 2^x \log 2$

(4) $y' = 3x^2(x^2 + 1)^{1/2}(2x^2 + 1)$

(5) $y' = e^{x^x} x^x (\log x + 1)$

(6) $y' = (\sin x)^{\cos x} \left( -\sin x \log(\sin x) + \frac{\cos^2 x}{\sin x} \right)$

(7) $y' = \frac{-2x}{1+x^4}$

(8) $y' = \frac{1}{x\sqrt{1+2\log x}}$

(9) $y' = \frac{1}{1+x^2}$

(10) $y' = -\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}$

(11) $y' = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}} (\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-4})$

(12) $y' = 2\sqrt{a^2 - x^2}$

#### 問題2

(1) $y = x - 1$

(2) $y = \frac{\sqrt{2}}{2}x -1 + \frac{\pi}{4}$