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問題3：関数 $y = \frac{1}{2x+1}$ の導関数を求める問題。 問題4：関数 $y = \frac{x+2}{x^2-1}$ の導関数を求める問題。

解析学導関数微分合成関数の微分商の微分
2025/6/15

1. 問題の内容

問題3：関数 y=12x+1y = \frac{1}{2x+1} の導関数を求める問題。
問題4：関数 y=x+2x2−1y = \frac{x+2}{x^2-1} の導関数を求める問題。

2. 解き方の手順

問題3：
y=(2x+1)−1y = (2x+1)^{-1}
と変形する。
合成関数の微分公式より、
dydx=−1(2x+1)−2⋅2=−2(2x+1)2\frac{dy}{dx} = -1(2x+1)^{-2} \cdot 2 = \frac{-2}{(2x+1)^2}
したがって、選択肢(1)が正しい。
問題4：
商の微分公式を使う。
y=f(x)g(x)y = \frac{f(x)}{g(x)} のとき、
dydx=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g(x)2\frac{dy}{dx} = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}
f(x)=x+2f(x) = x+2, g(x)=x2−1g(x) = x^2-1 とおくと、
f′(x)=1f'(x) = 1, g′(x)=2xg'(x) = 2x
dydx=1⋅(x2−1)−(x+2)⋅2x(x2−1)2=x2−1−(2x2+4x)(x2−1)2=−x2−4x−1(x2−1)2\frac{dy}{dx} = \frac{1 \cdot (x^2-1) - (x+2) \cdot 2x}{(x^2-1)^2} = \frac{x^2-1 - (2x^2+4x)}{(x^2-1)^2} = \frac{-x^2-4x-1}{(x^2-1)^2}
したがって、選択肢(4)が正しい。

3. 最終的な答え

問題3：(1)
問題4：(4)

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