与えられた関数 $y = 4x - \frac{1}{3}x^3$ が、ある $x$ の値で極大値を持つときの、$x$ の値と極大値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = 4x - \frac{1}{3}x^3$ が、ある $x$ の値で極大値を持つときの、$x$ の値と極大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた関数 $y$ を $x$ で微分して、導関数 $y'$ を求めます。

$y' = \frac{d}{dx}(4x - \frac{1}{3}x^3) = 4 - x^2$

(2) 次に、導関数 $y'$ が 0 になる $x$ の値を求めます。これは極値を取る点の候補です。

$4 - x^2 = 0$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$

(3) さらに、導関数 $y'$ をもう一度 $x$ で微分して、二階導関数 $y''$ を求めます。

$y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(4 - x^2) = -2x$

(4) 二階導関数 $y''$ に、ステップ(2)で求めた $x$ の値を代入します。$y'' < 0$ ならば極大、$y'' > 0$ ならば極小となります。

$x = 2$ のとき、$y'' = -2(2) = -4 < 0$ なので、$x = 2$ で極大値を取ります。

$x = -2$ のとき、$y'' = -2(-2) = 4 > 0$ なので、$x = -2$ で極小値を取ります。

(5) 最後に、$x = 2$ を元の関数 $y$ に代入して、極大値を求めます。

$y = 4(2) - \frac{1}{3}(2)^3 = 8 - \frac{8}{3} = \frac{24 - 8}{3} = \frac{16}{3}$

3. 最終的な答え

$x = 2$ で極大値 $\frac{16}{3}$ をもつ。