関数 $f(x) = x^2 + x$ の $x=1$ における微分係数 $f'(1)$ を、微分係数の定義に従って求め、選択肢の中から正しいものを選ぶ。選択肢は (1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5) 5 である。

## 問題１

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 + x$ の $x=1$ における微分係数 $f'(1)$ を、微分係数の定義に従って求め、選択肢の中から正しいものを選ぶ。選択肢は (1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5) 5 である。

2. 解き方の手順

微分係数の定義は次の通りです。

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

今回の問題では、$a = 1$ なので、

$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$

まず、$f(1+h)$ と $f(1)$ を計算します。

$f(1+h) = (1+h)^2 + (1+h) = 1 + 2h + h^2 + 1 + h = h^2 + 3h + 2$

$f(1) = 1^2 + 1 = 2$

これらを微分係数の定義の式に代入します。

$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{(h^2 + 3h + 2) - 2}{h}$

$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 + 3h}{h}$

$f'(1) = \lim_{h \to 0} (h + 3)$

$f'(1) = 0 + 3 = 3$

3. 最終的な答え

(3) 3

## 問題２

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 + x$ の $x=a$ における微分係数 $f'(a)$ を、微分係数の定義に従って求め、選択肢の中から正しいものを選ぶ。選択肢は (1) $a+1$ (2) $2a+1$ (3) $2a+2$ (4) $2a+3$ (5) $2a+4$ である。

2. 解き方の手順

微分係数の定義は次の通りです。

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

まず、$f(a+h)$ と $f(a)$ を計算します。

$f(a+h) = (a+h)^2 + (a+h) = a^2 + 2ah + h^2 + a + h$

$f(a) = a^2 + a$

これらを微分係数の定義の式に代入します。

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{(a^2 + 2ah + h^2 + a + h) - (a^2 + a)}{h}$

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{2ah + h^2 + h}{h}$

$f'(a) = \lim_{h \to 0} (2a + h + 1)$

$f'(a) = 2a + 0 + 1 = 2a + 1$

3. 最終的な答え

(2) $2a + 1$