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3次方程式 $x^3 - 12x - a = 0$ が異なる二つの実数解を持つとき、正の定数 $a$ の値を求める問題です。

解析学三次方程式極値微分増減表関数のグラフ
2025/6/15
## 問題5

1. 問題の内容

3次方程式 x3−12x−a=0x^3 - 12x - a = 0 が異なる二つの実数解を持つとき、正の定数 aa の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

3次関数 f(x)=x3−12xf(x) = x^3 - 12x を考えます。
f′(x)=3x2−12=3(x2−4)=3(x−2)(x+2)f'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4) = 3(x-2)(x+2)
f′(x)=0f'(x) = 0 となるのは、x=2,−2x = 2, -2 のときです。
増減表を書くと、以下のようになります。
| x | ... | -2 | ... | 2 | ... |
|------|-------|-----|-------|-----|-------|
| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |
| f(x) | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 |
f(−2)=(−2)3−12(−2)=−8+24=16f(-2) = (-2)^3 - 12(-2) = -8 + 24 = 16
f(2)=(2)3−12(2)=8−24=−16f(2) = (2)^3 - 12(2) = 8 - 24 = -16
y=f(x)y=f(x) のグラフと y=ay=a のグラフが異なる二つの実数解を持つためには、
y=ay=a が極大値または極小値を取る必要があります。
a=16a=16 または a=−16a=-16
aa は正の定数なので、a=16a=16

3. 最終的な答え

3. 16

## 問題6

1. 問題の内容

関数 f(x)=ax3+bx2+18xf(x) = ax^3 + bx^2 + 18x が x=−1x = -1 で極小値 −8-8 をとるとき、bb の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

f(x)f(x) が x=−1x = -1 で極小値をとるので、
f′(−1)=0f'(-1) = 0 かつ f(−1)=−8f(-1) = -8 が成り立ちます。
f′(x)=3ax2+2bx+18f'(x) = 3ax^2 + 2bx + 18
f′(−1)=3a(−1)2+2b(−1)+18=3a−2b+18=0f'(-1) = 3a(-1)^2 + 2b(-1) + 18 = 3a - 2b + 18 = 0
3a−2b=−183a - 2b = -18 (1)
f(−1)=a(−1)3+b(−1)2+18(−1)=−a+b−18=−8f(-1) = a(-1)^3 + b(-1)^2 + 18(-1) = -a + b - 18 = -8
−a+b=10-a + b = 10
a=b−10a = b - 10 (2)
(2)を(1)に代入すると、
3(b−10)−2b=−183(b-10) - 2b = -18
3b−30−2b=−183b - 30 - 2b = -18
b=12b = 12

3. 最終的な答え

4. 12

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