以下の5つの関数を微分する問題です。 (1) $y = \arcsin(x^2)$ (2) $y = \arccos(e^x)$ (3) $y = \arctan(3x)$ (4) $y = \arccos(2x) \arctan(\log|x|)$ (5) $y = \frac{\arcsin(x)}{2x+1}$

1. 問題の内容

以下の5つの関数を微分する問題です。

(1) $y = \arcsin(x^2)$

(2) $y = \arccos(e^x)$

(3) $y = \arctan(3x)$

(4) $y = \arccos(2x) \arctan(\log|x|)$

(5) $y = \frac{\arcsin(x)}{2x+1}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \arcsin(x^2)$ の微分

$\arcsin(u)$ の微分は $\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \frac{du}{dx}$ であることを利用します。$u = x^2$ とすると、$\frac{du}{dx} = 2x$ となります。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (x^2)^2}} \cdot 2x = \frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}$

(2) $y = \arccos(e^x)$ の微分

$\arccos(u)$ の微分は $-\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \frac{du}{dx}$ であることを利用します。$u = e^x$ とすると、$\frac{du}{dx} = e^x$ となります。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - (e^x)^2}} \cdot e^x = -\frac{e^x}{\sqrt{1 - e^{2x}}}$

(3) $y = \arctan(3x)$ の微分

$\arctan(u)$ の微分は $\frac{1}{1+u^2} \frac{du}{dx}$ であることを利用します。$u = 3x$ とすると、$\frac{du}{dx} = 3$ となります。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (3x)^2} \cdot 3 = \frac{3}{1 + 9x^2}$

(4) $y = \arccos(2x) \arctan(\log|x|)$ の微分

積の微分法 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = \arccos(2x)$ とすると、$u' = -\frac{1}{\sqrt{1-(2x)^2}} \cdot 2 = -\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$ となります。

$v = \arctan(\log|x|)$ とすると、$v' = \frac{1}{1+(\log|x|)^2} \cdot \frac{1}{x}$ となります。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}} \arctan(\log|x|) + \arccos(2x) \cdot \frac{1}{x(1+(\log|x|)^2)}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{2\arctan(\log|x|)}{\sqrt{1-4x^2}} + \frac{\arccos(2x)}{x(1+(\log|x|)^2)}$

(5) $y = \frac{\arcsin(x)}{2x+1}$ の微分

商の微分法 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = \arcsin(x)$ とすると、$u' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ となります。

$v = 2x+1$ とすると、$v' = 2$ となります。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}(2x+1) - \arcsin(x) \cdot 2}{(2x+1)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{2x+1}{\sqrt{1-x^2}} - 2\arcsin(x)}{(2x+1)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x+1 - 2\arcsin(x)\sqrt{1-x^2}}{(2x+1)^2 \sqrt{1-x^2}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\frac{e^x}{\sqrt{1 - e^{2x}}}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{1 + 9x^2}$

(4) $\frac{dy}{dx} = -\frac{2\arctan(\log|x|)}{\sqrt{1-4x^2}} + \frac{\arccos(2x)}{x(1+(\log|x|)^2)}$

(5) $\frac{dy}{dx} = \frac{2x+1 - 2\arcsin(x)\sqrt{1-x^2}}{(2x+1)^2 \sqrt{1-x^2}}$