$xy$平面において、曲線 $y = x^2 + x - 1$ と直線 $y = 2x + 1$ で囲まれた領域の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

$xy$平面において、曲線 $y = x^2 + x - 1$ と直線 $y = 2x + 1$ で囲まれた領域の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、曲線と直線の交点を求めます。交点の $x$ 座標を求めるには、2つの式を連立させて $x$ について解きます。

$x^2 + x - 1 = 2x + 1$

$x^2 - x - 2 = 0$

$(x - 2)(x + 1) = 0$

したがって、$x = 2, -1$ です。

交点の $x$ 座標が求まったので、囲まれた領域の面積を積分で求めます。

面積 $S$ は、

$S = \int_{-1}^{2} (2x + 1 - (x^2 + x - 1)) dx$

$S = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) dx$

$S = [-\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 2x]_{-1}^{2}$

$S = (-\frac{8}{3} + 2 + 4) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2)$

$S = -\frac{8}{3} + 6 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2$

$S = -\frac{9}{3} + 8 - \frac{1}{2}$

$S = -3 + 8 - \frac{1}{2}$

$S = 5 - \frac{1}{2}$

$S = \frac{10}{2} - \frac{1}{2}$

$S = \frac{9}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{9}{2}$