関数 $y = x^3 - 3x^2 + 1$ について、接線の傾きが $-3$ となる点の座標と、その点における接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = x^3 - 3x^2 + 1$ について、接線の傾きが $-3$ となる点の座標と、その点における接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、導関数を求める。導関数は接線の傾きを表すので、それが $-3$ になる $x$ の値を求める。

$y' = 3x^2 - 6x$

$y' = -3$ となる $x$ を求める。

$3x^2 - 6x = -3$

$3x^2 - 6x + 3 = 0$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x - 1)^2 = 0$

$x = 1$

$x = 1$ のとき、$y = 1^3 - 3(1)^2 + 1 = 1 - 3 + 1 = -1$ である。

したがって、接線の傾きが $-3$ となる点の座標は $(1, -1)$ である。

次に、点 $(1, -1)$ における接線の方程式を求める。

接線の傾きは $-3$ であり、点 $(1, -1)$ を通るので、接線の方程式は次のようになる。

$y - (-1) = -3(x - 1)$

$y + 1 = -3x + 3$

$y = -3x + 2$

3. 最終的な答え

接線の傾きが $-3$ となる点の座標は $(1, -1)$ であり、接線の方程式は $y = -3x + 2$ である。