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$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の不等式を解く。 (1) $\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \le \frac{\sqrt{3}}{2}$ (2) $\tan(\theta - \frac{\pi}{6}) > 1$ (3) $\cos(\theta - \frac{\pi}{3}) < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ (4) $\tan(\theta + \frac{\pi}{6}) \ge -\sqrt{3}$

解析学三角関数三角不等式不等式
2025/6/15

1. 問題の内容

0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi のとき、次の不等式を解く。
(1) sin⁡(θ+π4)≤32\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \le \frac{\sqrt{3}}{2}
(2) tan⁡(θ−π6)>1\tan(\theta - \frac{\pi}{6}) > 1
(3) cos⁡(θ−π3)<−32\cos(\theta - \frac{\pi}{3}) < -\frac{\sqrt{3}}{2}
(4) tan⁡(θ+π6)≥−3\tan(\theta + \frac{\pi}{6}) \ge -\sqrt{3}

2. 解き方の手順

(1) sin⁡(θ+π4)≤32\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \le \frac{\sqrt{3}}{2}
t=θ+π4t = \theta + \frac{\pi}{4} とおくと、π4≤t<2π+π4\frac{\pi}{4} \le t < 2\pi + \frac{\pi}{4}。
sin⁡t≤32\sin t \le \frac{\sqrt{3}}{2} を解くと、
5π3≤t≤13π6\frac{5\pi}{3} \le t \le \frac{13\pi}{6} または π4≤t≤π3\frac{\pi}{4} \le t \le \frac{\pi}{3} または 2π3≤t≤2π+π4\frac{2\pi}{3} \le t \le 2\pi + \frac{\pi}{4}
5π3≤θ+π4≤2π+π4\frac{5\pi}{3} \le \theta + \frac{\pi}{4} \le 2\pi + \frac{\pi}{4} は θ+π4<2π+π4\theta + \frac{\pi}{4} < 2\pi + \frac{\pi}{4} より 5π3≤θ+π4<2π+π4\frac{5\pi}{3} \le \theta + \frac{\pi}{4} < 2\pi + \frac{\pi}{4}を解くと
5π3−π4≤θ<2π\frac{5\pi}{3} - \frac{\pi}{4} \le \theta < 2\pi
17π12≤θ<2π\frac{17\pi}{12} \le \theta < 2\pi
π4≤θ+π4≤π3\frac{\pi}{4} \le \theta + \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{3} を解くと
0≤θ≤π3−π40 \le \theta \le \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}
0≤θ≤π120 \le \theta \le \frac{\pi}{12}
2π3≤θ+π4≤2π+π6\frac{2\pi}{3} \le \theta + \frac{\pi}{4} \le \frac{2\pi + \pi}{6} を解くと
2π3−π4≤θ≤2π+π6\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{2\pi + \pi}{6}
5π12≤θ<2π\frac{5\pi}{12} \le \theta < 2\pi は 5π12≤θ≤2π\frac{5\pi}{12} \le \theta \le 2\pi
よって、0≤θ≤π120 \le \theta \le \frac{\pi}{12} または 5π12≤θ<2π\frac{5\pi}{12} \le \theta < 2\pi
(2) tan⁡(θ−π6)>1\tan(\theta - \frac{\pi}{6}) > 1
t=θ−π6t = \theta - \frac{\pi}{6} とおくと、−π6≤t<2π−π6-\frac{\pi}{6} \le t < 2\pi - \frac{\pi}{6}。
tan⁡t>1\tan t > 1 を解くと、
π4<t<π2\frac{\pi}{4} < t < \frac{\pi}{2}, 5π4<t<3π2\frac{5\pi}{4} < t < \frac{3\pi}{2}, 9π4<t<7π2\frac{9\pi}{4} < t < \frac{7\pi}{2}
π4<θ−π6<π2\frac{\pi}{4} < \theta - \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2} を解くと、π4+π6<θ<π2+π6\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} < \theta < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} より 5π12<θ<2π3\frac{5\pi}{12} < \theta < \frac{2\pi}{3}
5π4<θ−π6<3π2\frac{5\pi}{4} < \theta - \frac{\pi}{6} < \frac{3\pi}{2} を解くと、5π4+π6<θ<3π2+π6\frac{5\pi}{4} + \frac{\pi}{6} < \theta < \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{6} より 17π12<θ<5π3\frac{17\pi}{12} < \theta < \frac{5\pi}{3}
(3) cos⁡(θ−π3)<−32\cos(\theta - \frac{\pi}{3}) < -\frac{\sqrt{3}}{2}
t=θ−π3t = \theta - \frac{\pi}{3} とおくと、−π3≤t<2π−π3-\frac{\pi}{3} \le t < 2\pi - \frac{\pi}{3}。
cos⁡t<−32\cos t < -\frac{\sqrt{3}}{2} を解くと、
5π6<t<7π6\frac{5\pi}{6} < t < \frac{7\pi}{6}
5π6<θ−π3<7π6\frac{5\pi}{6} < \theta - \frac{\pi}{3} < \frac{7\pi}{6} を解くと、5π6+π3<θ<7π6+π3\frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{3} < \theta < \frac{7\pi}{6} + \frac{\pi}{3} より 7π6<θ<3π2\frac{7\pi}{6} < \theta < \frac{3\pi}{2}
(4) tan⁡(θ+π6)≥−3\tan(\theta + \frac{\pi}{6}) \ge -\sqrt{3}
t=θ+π6t = \theta + \frac{\pi}{6} とおくと、π6≤t<2π+π6\frac{\pi}{6} \le t < 2\pi + \frac{\pi}{6}。
tan⁡t≥−3\tan t \ge -\sqrt{3} を解くと、−π3<t≤−π6-\frac{\pi}{3} < t \le -\frac{\pi}{6} を t>−π2t > -\frac{\pi}{2} の範囲で考える。
0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi で tan⁡t≥−3\tan t \ge -\sqrt{3} となるのは、
−π3+π=2π3-\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3}, t<π2t < \frac{\pi}{2} より t>2π3t > \frac{2\pi}{3}
2π3≤t<π2\frac{2\pi}{3} \le t < \frac{\pi}{2}, 5π6<t<3π2\frac{5\pi}{6} < t < \frac{3\pi}{2} より t=θ+π6t = \theta + \frac{\pi}{6}より 5π6\frac{5\pi}{6} になるまで
2π3≤θ+π6<π2\frac{2\pi}{3} \le \theta + \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2} より 2π3−π6≤θ<π2−π6\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} \le \theta < \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} より π2≤θ<π3\frac{\pi}{2} \le \theta < \frac{\pi}{3}
π2<t≤2π−π3\frac{\pi}{2} < t \le 2\pi-\frac{\pi}{3}
2π3≤θ+π6<π\frac{2\pi}{3} \le \theta + \frac{\pi}{6} < \pi θ<5π6\theta < \frac{5\pi}{6}より2π3−π6≤θ\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\le \thetaから5π6\frac{5\pi}{6}
よってπ2≤θ<2π\frac{\pi}{2}\le \theta<2\pi

3. 最終的な答え

(1) 0≤θ≤π120 \le \theta \le \frac{\pi}{12} または 5π12≤θ<2π\frac{5\pi}{12} \le \theta < 2\pi
(2) 5π12<θ<2π3\frac{5\pi}{12} < \theta < \frac{2\pi}{3} または 17π12<θ<5π3\frac{17\pi}{12} < \theta < \frac{5\pi}{3}
(3) 7π6<θ<3π2\frac{7\pi}{6} < \theta < \frac{3\pi}{2}
(4) π2≤θ<2π\frac{\pi}{2} \le \theta <2\pi

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