$\tan(\theta + \frac{\pi}{6}) \geq -\sqrt{3}$ を満たす$\theta$の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$\tan(\theta + \frac{\pi}{6}) \geq -\sqrt{3}$ を満たす$\theta$の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$t = \theta + \frac{\pi}{6}$ と置きます。

すると、問題は $\tan(t) \geq -\sqrt{3}$ を満たす $t$ の範囲を求めることになります。

$\tan$ 関数は周期 $\pi$ を持つので、$0 \leq t < \pi$ の範囲で解を求め、その後一般解を求めます。

$\tan(t) = -\sqrt{3}$ となる $t$ の値を求めます。

$\tan(t) = -\sqrt{3}$ となるのは $t = \frac{2\pi}{3}$ のときです。

$\tan(t)$ のグラフを考えると、$\tan(t) \geq -\sqrt{3}$ となる $t$ の範囲は、$-\frac{\pi}{2} < t \leq \frac{2\pi}{3}$となります。

$0 \leq t < \pi$ の範囲では、$t = \frac{2\pi}{3}$ の前後で$\tan(t)$の値は$-\sqrt{3}$より大きいか小さいかが変わります。

したがって、$t$ の範囲は $\frac{2\pi}{3} \leq t < \frac{\pi}{2}$ または $-\frac{\pi}{2} < t \leq \frac{2\pi}{3}$ となります。

一般解を求めると、$n$ を整数として $\frac{2\pi}{3} + n\pi \leq t < \frac{\pi}{2} + n\pi$ となります。

$t = \theta + \frac{\pi}{6}$ を代入すると、$\frac{2\pi}{3} + n\pi \leq \theta + \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2} + n\pi$となります。

各辺から $\frac{\pi}{6}$ を引くと、

$\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + n\pi \leq \theta < \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + n\pi$

$\frac{4\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + n\pi \leq \theta < \frac{3\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + n\pi$

$\frac{3\pi}{6} + n\pi \leq \theta < \frac{2\pi}{6} + n\pi$

$\frac{\pi}{2} + n\pi \leq \theta < \frac{\pi}{3} + n\pi$ となります。

これは $\frac{\pi}{2} + n\pi \leq \theta < \frac{\pi}{3} + (n+1)\pi$ に書き換えられます。

したがって、$\frac{\pi}{2} + n\pi \leq \theta < \frac{\pi}{3} + n\pi + \pi$

$\frac{\pi}{2} + n\pi \leq \theta < \frac{4\pi}{3} + n\pi$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2} + n\pi \leq \theta < \frac{4\pi}{3} + n\pi$ (nは整数)

あるいは

$-\frac{\pi}{2} + n\pi < \theta + \frac{\pi}{6} \le \frac{2\pi}{3} + n\pi$

$-\frac{2\pi}{3} + n\pi \le \theta < \frac{\pi}{2} + n\pi$