与えられた三角不等式を解く問題です。具体的には、 (1) $\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \le \frac{\sqrt{3}}{2}$ (2) $\tan(\theta - \frac{\pi}{6}) > 1$ (3) $\cos(\theta - \frac{\pi}{3}) < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ (4) $\tan(\theta + \frac{\pi}{6}) \ge -\sqrt{3}$ を解きます。ただし、$\theta$ の範囲が指定されていないので、$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で解を求めます。

1. 問題の内容

与えられた三角不等式を解く問題です。具体的には、

(1) $\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \le \frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\tan(\theta - \frac{\pi}{6}) > 1$

(3) $\cos(\theta - \frac{\pi}{3}) < -\frac{\sqrt{3}}{2}$

(4) $\tan(\theta + \frac{\pi}{6}) \ge -\sqrt{3}$

を解きます。ただし、$\theta$ の範囲が指定されていないので、$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で解を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \le \frac{\sqrt{3}}{2}$

$t = \theta + \frac{\pi}{4}$ とおくと、$\sin t \le \frac{\sqrt{3}}{2}$ となります。

$0 \le \theta < 2\pi$ より、$\frac{\pi}{4} \le t < \frac{9\pi}{4}$ です。

$\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $t$ は、 $t = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}$ です。

よって、$\frac{\pi}{4} \le t \le \frac{\pi}{3}$ または $\frac{2\pi}{3} \le t \le \frac{7\pi}{3}$ または $\frac{8\pi}{3} \le t < \frac{9\pi}{4}$ となります。

$\frac{\pi}{4} \le \theta + \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{3}$ より、 $0 \le \theta \le \frac{\pi}{12}$ です。

$\frac{2\pi}{3} \le \theta + \frac{\pi}{4} \le \frac{7\pi}{3}$ より、$\frac{5\pi}{12} \le \theta \le \frac{25\pi}{12}$ であり、 $0 \le \theta < 2\pi$ なので、$\frac{5\pi}{12} \le \theta < 2\pi$ です。

$\frac{8\pi}{3} \le \theta + \frac{\pi}{4} < \frac{9\pi}{4}$ より、$\frac{29\pi}{12} \le \theta < \frac{5\pi}{2}$ であり、 $0 \le \theta < 2\pi$ なので、$\frac{5\pi}{12} \le \theta < 2\pi$ と同じです。

$\frac{2\pi}{3} \le t \le \frac{7\pi}{3}$ の範囲で不等式を満たすのは、$\frac{2\pi}{3} \le t \le \frac{7\pi}{3} - 2\pi = \frac{\pi}{3}$ と $\frac{2\pi}{3}+2\pi = \frac{8\pi}{3} \le t < \frac{9\pi}{4}$ の間の区間となります。

$\frac{2\pi}{3} \le t \le \frac{7\pi}{3}$ と$\sin t \le \frac{\sqrt{3}}{2}$ の共通範囲は$\frac{2\pi}{3} \le t \le \frac{7\pi}{3} - 2\pi = \frac{\pi}{3}$と$\frac{8\pi}{3} \le t < \frac{9\pi}{4}$の間です。

この共通範囲は $\frac{2\pi}{3} \le t \le \frac{7\pi}{3}$ つまり $\sin t \le \frac{\sqrt{3}}{2}$ は $\frac{2\pi}{3} \le t \le \frac{7\pi}{3} - 2\pi = \frac{\pi}{3}$と$\frac{2\pi}{3}+2\pi = \frac{8\pi}{3} \le t < \frac{9\pi}{4}$の間で成立します。

したがって、$\theta + \frac{\pi}{4}$ は、$\frac{\pi}{4} \le \theta + \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{3}$ または $\frac{2\pi}{3} \le \theta + \frac{\pi}{4} \le \frac{7\pi}{3}$ または $\frac{8\pi}{3} \le \theta + \frac{\pi}{4} < \frac{9\pi}{4}$ を満たします。

したがって、$\theta \le \frac{\pi}{12}$ または $\frac{5\pi}{12} \le \theta < 2\pi$ です。

$\theta \le \frac{\pi}{12}$を$\frac{\pi}{4} \le \theta + \frac{\pi}{4}$に適用すると、$\theta \le \frac{\pi}{12}$ になり、$2\pi - \frac{\pi}{12} \le \theta$ となるので、 $\theta = \frac{23\pi}{12}$ です。

最終的な解は $0 \le \theta \le \frac{\pi}{3}$ または $\frac{2\pi}{3} \le \theta < 2\pi$ となります。

$\frac{\pi}{4} \le \theta + \frac{\pi}{4} \le \frac{8\pi}{3}$

正しくは、

$\frac{\pi}{4} \le \theta + \frac{\pi}{4} \le \frac{7\pi}{6}$ または $\frac{11\pi}{6} \le \theta + \frac{\pi}{4} < \frac{9\pi}{4}$

となります。

よって、$0 \le \theta \le \frac{5\pi}{12}$ または $\frac{19\pi}{12} \le \theta < 2\pi$ です。

(2) $\tan(\theta - \frac{\pi}{6}) > 1$

$t = \theta - \frac{\pi}{6}$ とおくと、$\tan t > 1$ となります。

$-\frac{\pi}{6} \le t < \frac{11\pi}{6}$ です。

$\tan t = 1$ となる $t$ は、$\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$ です。

$\frac{\pi}{4} < t < \frac{5\pi}{4}$ であり、$\frac{\pi}{2}$ と $\frac{3\pi}{2}$ は $\tan t$ が定義されない点なので、これらを除外します。

したがって、$\frac{\pi}{4} < t < \frac{\pi}{2}$ または $\frac{\pi}{2} < t < \frac{3\pi}{2}$ または $\frac{3\pi}{2} < t < \frac{5\pi}{4}$となります。

$\frac{\pi}{4} < \theta - \frac{\pi}{6} < \frac{5\pi}{4}$

$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} < \theta < \frac{5\pi}{4} + \frac{\pi}{6}$

$\frac{5\pi}{12} < \theta < \frac{17\pi}{12}$

ただし、$\frac{2\pi}{3} < \theta < \frac{5\pi}{6}$ と $\frac{5\pi}{6} < \theta < \frac{4\pi}{3}$ は除きます。

$\theta \ne \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$

$\theta \ne \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{3}$

$\frac{5\pi}{12} < \theta < \frac{2\pi}{3}$ または $\frac{2\pi}{3} < \theta < \frac{17\pi}{12}$ が答えです。

（注：$\frac{\pi}{2}$と$\frac{3\pi}{2}$で$\tan x$が定義されないことに注意してください。）

(3) $\cos(\theta - \frac{\pi}{3}) < -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$t = \theta - \frac{\pi}{3}$ とおくと、$\cos t < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となります。

$-\frac{\pi}{3} \le t < \frac{5\pi}{3}$ です。

$\cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $t$ は、$\frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}$ です。

よって、$\frac{5\pi}{6} < t < \frac{7\pi}{6}$ となります。

$\frac{5\pi}{6} < \theta - \frac{\pi}{3} < \frac{7\pi}{6}$

$\frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{3} < \theta < \frac{7\pi}{6} + \frac{\pi}{3}$

$\frac{7\pi}{6} < \theta < \frac{3\pi}{2}$

(4) $\tan(\theta + \frac{\pi}{6}) \ge -\sqrt{3}$

$t = \theta + \frac{\pi}{6}$ とおくと、$\tan t \ge -\sqrt{3}$ となります。

$\frac{\pi}{6} \le t < \frac{13\pi}{6}$ です。

$\tan t = -\sqrt{3}$ となる $t$ は、$\frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}, \frac{11\pi}{3}$ です。

$-\frac{\pi}{2} < t \le \frac{2\pi}{3}$ または $\frac{\pi}{2} < t < \frac{3\pi}{2}$ または $\frac{5\pi}{3} \le t < \frac{7\pi}{2}$

よって、$\frac{\pi}{6} < t \le \frac{2\pi}{3}$ または $\frac{3\pi}{2} < t \le \frac{5\pi}{3}$ または $\frac{7\pi}{2} < t \le \frac{11\pi}{3}$

$\frac{7\pi}{2}$を除くと、$\frac{\pi}{6} \le t \le \frac{2\pi}{3}$ または $\frac{3\pi}{2} < t \le \frac{5\pi}{3}$

$\frac{\pi}{6} \le \theta + \frac{\pi}{6} \le \frac{2\pi}{3}$ または $\frac{3\pi}{2} < \theta + \frac{\pi}{6} \le \frac{5\pi}{3}$

$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ または $\frac{4\pi}{3} < \theta \le \frac{3\pi}{2}$

$\tan t \ge -\sqrt{3}$ は $\frac{2\pi}{3} \le t < \frac{\pi}{2}$ または $\frac{5\pi}{3} \le t < \frac{3\pi}{2}$。

$\theta + \frac{\pi}{6} \ge \frac{2\pi}{3}$ から $\theta \ge \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $0 \le \theta \le \frac{5\pi}{12}$ または $\frac{19\pi}{12} \le \theta < 2\pi$

(2) $\frac{5\pi}{12} < \theta < \frac{2\pi}{3}$ または $\frac{2\pi}{3} < \theta < \frac{17\pi}{12}$

(3) $\frac{7\pi}{6} < \theta < \frac{3\pi}{2}$

(4) $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ または $\frac{4\pi}{3} < \theta \le \frac{3\pi}{2}$