関数 $f(x) = (\log_{\frac{1}{3}} \frac{x}{25})(\log_{\frac{1}{3}} \frac{x}{9})$ について、$0 < x \le 27$ における最小値を与える $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (\log_{\frac{1}{3}} \frac{x}{25})(\log_{\frac{1}{3}} \frac{x}{9})$ について、$0 < x \le 27$ における最小値を与える $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\log_{\frac{1}{3}} x = t$ と置換します。まず、$x$ の範囲から $t$ の範囲を求めます。

$x > 0$ より $t$ は任意の実数を取ります。

$x \le 27$ より $\log_{\frac{1}{3}} x \ge \log_{\frac{1}{3}} 27 = \log_{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3})^{-3} = -3$

よって $t \ge -3$

(2) $\log_{\frac{1}{3}} \frac{x}{25} = \log_{\frac{1}{3}} x - \log_{\frac{1}{3}} 25 = t - \log_{\frac{1}{3}} 5^2 = t - 2\log_{\frac{1}{3}} 5$

$\log_{\frac{1}{3}} \frac{x}{9} = \log_{\frac{1}{3}} x - \log_{\frac{1}{3}} 9 = t - \log_{\frac{1}{3}} 3^2 = t - 2\log_{\frac{1}{3}} 3 = t - 2(-1) = t+2$

したがって、

$f(x) = (t - 2\log_{\frac{1}{3}} 5)(t+2)$

$f(x) = t^2 + 2t - 2t\log_{\frac{1}{3}} 5 - 4\log_{\frac{1}{3}} 5$

$f(x) = t^2 + 2(1 - \log_{\frac{1}{3}} 5)t - 4\log_{\frac{1}{3}} 5$

$f(x) = (t + (1 - \log_{\frac{1}{3}} 5))^2 - (1 - \log_{\frac{1}{3}} 5)^2 - 4\log_{\frac{1}{3}} 5$

$f(x) = (t + (1 - \log_{\frac{1}{3}} 5))^2 - 1 + 2\log_{\frac{1}{3}} 5 - (\log_{\frac{1}{3}} 5)^2 - 4\log_{\frac{1}{3}} 5$

$f(x) = (t + (1 - \log_{\frac{1}{3}} 5))^2 - (\log_{\frac{1}{3}} 5)^2 - 2\log_{\frac{1}{3}} 5 - 1$

(3) $t \ge -3$ における最小値を考えます。

軸は $t = -1 + \log_{\frac{1}{3}} 5$

$1 - \log_{\frac{1}{3}} 5 = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3} - \log_{\frac{1}{3}} 5 = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{15}$

$-1 + \log_{\frac{1}{3}} 5 > -3$ であるかどうかを確認します。

$\log_{\frac{1}{3}} 5 > -2$

$\frac{1}{3}^{-2} > 5$

$9 > 5$

したがって軸は範囲内に存在します。

最小値を取るのは $t = -1 + \log_{\frac{1}{3}} 5 = \log_{\frac{1}{3}} 5 - \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3} = \log_{\frac{1}{3}} 15$ の時

(4) $x$ を求めます。

$\log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}} 15$

$x = 15$

3. 最終的な答え

$x = 15$