関数 $f(x) = (\log_{\frac{1}{3}} \frac{x}{25}) (\log_{\frac{1}{3}} \frac{x}{9})$ の $0 < x \le 27$ における最小値を与える $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (\log_{\frac{1}{3}} \frac{x}{25}) (\log_{\frac{1}{3}} \frac{x}{9})$ の $0 < x \le 27$ における最小値を与える $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\log_{\frac{1}{3}} \frac{x}{25}$ と $\log_{\frac{1}{3}} \frac{x}{9}$ を変形する。

対数の性質より、$\log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c$ が成り立つ。

$f(x) = (\log_{\frac{1}{3}} x - \log_{\frac{1}{3}} 25)(\log_{\frac{1}{3}} x - \log_{\frac{1}{3}} 9)$

ここで、$t = \log_{\frac{1}{3}} x$ とおくと、$\log_{\frac{1}{3}} 25 = \log_{\frac{1}{3}} 5^2 = 2 \log_{\frac{1}{3}} 5$ および $\log_{\frac{1}{3}} 9 = \log_{\frac{1}{3}} 3^2 = 2 \log_{\frac{1}{3}} 3 = 2(-1) = -2$ である。

よって、$f(x) = (t - 2\log_{\frac{1}{3}} 5)(t - (-2)) = (t - 2\log_{\frac{1}{3}} 5)(t + 2)$ となる。

さらに展開すると、

$f(x) = t^2 + 2t - 2t\log_{\frac{1}{3}} 5 - 4\log_{\frac{1}{3}} 5 = t^2 + 2(1 - \log_{\frac{1}{3}} 5)t - 4\log_{\frac{1}{3}} 5$

平方完成すると、

$f(x) = [t + (1 - \log_{\frac{1}{3}} 5)]^2 - (1 - \log_{\frac{1}{3}} 5)^2 - 4\log_{\frac{1}{3}} 5$

$f(x) = [t + (1 - \log_{\frac{1}{3}} 5)]^2 - (1 - 2\log_{\frac{1}{3}} 5 + (\log_{\frac{1}{3}} 5)^2) - 4\log_{\frac{1}{3}} 5$

$f(x) = [t + (1 - \log_{\frac{1}{3}} 5)]^2 - 1 + 2\log_{\frac{1}{3}} 5 - (\log_{\frac{1}{3}} 5)^2 - 4\log_{\frac{1}{3}} 5$

$f(x) = [t + (1 - \log_{\frac{1}{3}} 5)]^2 - 1 - 2\log_{\frac{1}{3}} 5 - (\log_{\frac{1}{3}} 5)^2$

$g(t) = [t + (1 - \log_{\frac{1}{3}} 5)]^2 - 1 - 2\log_{\frac{1}{3}} 5 - (\log_{\frac{1}{3}} 5)^2$ とおくと、これは $t = -1 + \log_{\frac{1}{3}} 5$ で最小となる。

$0 < x \le 27$ より、$\log_{\frac{1}{3}} 27 \le \log_{\frac{1}{3}} x < \log_{\frac{1}{3}} 0$ 、つまり $-3 \le t < \infty$。

$t = -1 + \log_{\frac{1}{3}} 5$ のとき、$g(t)$ は最小となる。

このとき、$\log_{\frac{1}{3}} x = -1 + \log_{\frac{1}{3}} 5$ であるから、$\log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}} 3 + \log_{\frac{1}{3}} 5 = \log_{\frac{1}{3}} 15$。

したがって、$x = 15$ で最小となる。

ここで、$-3 \le t$ であり、$-3 \le -1 + \log_{\frac{1}{3}} 5$ であるかを確認する。

$-2 \le \log_{\frac{1}{3}} 5$。$\log_{\frac{1}{3}} 9 \le \log_{\frac{1}{3}} 5$。これは正しい。

3. 最終的な答え

$x = 15$