関数 $f(x) = \left( \log_{\frac{1}{25}} x \right) \cdot \left( \log_{\frac{1}{9}} x \right)$ の $0 < x \leq 27$ における最小値を与える $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \left( \log_{\frac{1}{25}} x \right) \cdot \left( \log_{\frac{1}{9}} x \right)$ の $0 < x \leq 27$ における最小値を与える $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、底の変換公式を使って、対数の底を3にする。

$\log_{\frac{1}{25}} x = \frac{\log_3 x}{\log_3 \frac{1}{25}} = \frac{\log_3 x}{\log_3 5^{-2}} = \frac{\log_3 x}{-2 \log_3 5} = -\frac{1}{2 \log_3 5} \log_3 x$

$\log_{\frac{1}{9}} x = \frac{\log_3 x}{\log_3 \frac{1}{9}} = \frac{\log_3 x}{\log_3 3^{-2}} = \frac{\log_3 x}{-2} = -\frac{1}{2} \log_3 x$

したがって、

$f(x) = \left( -\frac{1}{2 \log_3 5} \log_3 x \right) \left( -\frac{1}{2} \log_3 x \right) = \frac{1}{4 \log_3 5} (\log_3 x)^2$

$t = \log_3 x$ と置くと、$f(x) = \frac{1}{4 \log_3 5} t^2$ となる。

$0 < x \leq 27$ より、$\log_3 0 < \log_3 x \leq \log_3 27$

$\log_3 27 = \log_3 3^3 = 3$

従って、$t = \log_3 x \leq 3$

関数 $g(t) = \frac{1}{4 \log_3 5} t^2$ は $t$ の2次関数であり、$t=0$ で最小値0を取る。

$\log_3 5 > 1$ であるから、$\frac{1}{4 \log_3 5} > 0$

$t$ の範囲は $(-\infty, 3]$ であるから、$t=0$ はこの範囲に含まれるので、$t=0$ で最小値を取る。

$t = \log_3 x = 0$ となる $x$ の値は $x=1$ である。

$x=27$ の時、$t = \log_3 27 = 3$

$g(3) = \frac{1}{4 \log_3 5} \times 3^2 = \frac{9}{4 \log_3 5}$

$g(0) = 0$

最小値を与える $x$ の値は、$x=1$ である。

3. 最終的な答え

$x = 1$