定積分 $\int_{\frac{1}{2}}^{1} (2x-1)^8 dx$ の値を求める問題です。

## 問題1：定積分

1. 問題の内容

定積分 $\int_{\frac{1}{2}}^{1} (2x-1)^8 dx$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、不定積分を計算します。

$u = 2x - 1$ と置換すると、$du = 2dx$ より、$dx = \frac{1}{2}du$ となります。

$x = \frac{1}{2}$ のとき、$u = 2(\frac{1}{2}) - 1 = 0$

$x = 1$ のとき、$u = 2(1) - 1 = 1$

したがって、

$\int_{\frac{1}{2}}^{1} (2x-1)^8 dx = \int_{0}^{1} u^8 \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} u^8 du$

$\int u^8 du = \frac{u^9}{9} + C$

したがって、

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u^8 du = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^9}{9} \right]_0^1 = \frac{1}{2} \left( \frac{1^9}{9} - \frac{0^9}{9} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{18}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{18}$

## 問題2：不定積分

1. 問題の内容

不定積分 $\int \left( \sin(2x-1) + \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) dx$ を求める問題です。ここで、Cは積分定数です。

2. 解き方の手順

積分を分解します。

$\int \left( \sin(2x-1) + \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) dx = \int \sin(2x-1) dx + \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$

$\int \sin(2x-1) dx$ について、$u = 2x-1$ と置換すると、$du = 2dx$ より、$dx = \frac{1}{2}du$ となります。

$\int \sin(u) \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \sin(u) du = \frac{1}{2} (-\cos(u)) + C_1 = -\frac{1}{2} \cos(2x-1) + C_1$

$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin(x) + C_2 = \sin^{-1}(x) + C_2$

したがって、

$\int \left( \sin(2x-1) + \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) dx = -\frac{1}{2} \cos(2x-1) + \sin^{-1}(x) + C$ （ただし、$C = C_1 + C_2$)

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2}\cos(2x-1) + \sin^{-1}x + C$