定積分 $\int_0^1 x dx$ を定義に従って計算し、空欄Aを埋める問題です。積分区間を $n$ 等分した時の積分をリーマン和を用いて表し、その極限値を求めることで定積分を計算します。選択肢の中から正しいリーマン和の表現を選びます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_0^1 x dx$ を定義に従って計算し、空欄Aを埋める問題です。積分区間を $n$ 等分した時の積分をリーマン和を用いて表し、その極限値を求めることで定積分を計算します。選択肢の中から正しいリーマン和の表現を選びます。

2. 解き方の手順

まず、積分区間 $[0, 1]$ を $n$ 等分すると、各区間の幅は $\frac{1}{n}$ となります。リーマン和は、各区間における代表点の関数値と区間の幅の積の総和で近似されます。ここでは、各区間の右端を代表点として選びます。すると、第 $k$ 番目の区間の右端の点は $\frac{k}{n}$ となり、この点での関数値は $f(\frac{k}{n}) = \frac{k}{n}$ です。したがって、リーマン和は

$\sum_{k=1}^n f(\frac{k}{n}) \cdot \frac{1}{n} = \sum_{k=1}^n \frac{k}{n} \cdot \frac{1}{n} = \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2}$

となります。定積分は、このリーマン和の $n \to \infty$ における極限値として定義されるので、

$\int_0^1 x dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n}$

となります。したがって、選択肢の中からこれに一致するものを選びます。

選択肢を吟味すると、選択肢4が、

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n} \cdot \frac{1}{n}$

と一致します。

また、$\int_0^1 x dx = [\frac{1}{2}x^2]_0^1 = \frac{1}{2}$となることは問題文に記載されているので、計算する必要はありません。

3. 最終的な答え

空欄Aに入るのは $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n} \cdot \frac{1}{n}$ であり、選択肢は4です。