次の3つの定積分を計算する問題です。 (i) $\int_{-1}^{2} |x| dx$ (ii) $\int_{0}^{2} |x-1| + 1 dx$ (iii) $\int_{0}^{a} \sqrt{1-x^2} dx$, ただし $0 \le a < 1$

1. 問題の内容

次の3つの定積分を計算する問題です。

(i) $\int_{-1}^{2} |x| dx$

(ii) $\int_{0}^{2} |x-1| + 1 dx$

(iii) $\int_{0}^{a} \sqrt{1-x^2} dx$, ただし $0 \le a < 1$

2. 解き方の手順

(i) $\int_{-1}^{2} |x| dx$

絶対値記号を外すために、積分区間を$x \ge 0$と$x < 0$で分割します。

$\int_{-1}^{2} |x| dx = \int_{-1}^{0} (-x) dx + \int_{0}^{2} x dx$

$= \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2}$

$= \left( -\frac{0^2}{2} - \left( -\frac{(-1)^2}{2} \right) \right) + \left( \frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right)$

$= \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$

(ii) $\int_{0}^{2} (|x-1| + 1) dx$

絶対値記号を外すために、積分区間を$x \ge 1$と$x < 1$で分割します。

$\int_{0}^{2} (|x-1| + 1) dx = \int_{0}^{1} (-(x-1) + 1) dx + \int_{1}^{2} ((x-1) + 1) dx$

$= \int_{0}^{1} (-x + 2) dx + \int_{1}^{2} x dx$

$= \left[ -\frac{x^2}{2} + 2x \right]_{0}^{1} + \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2}$

$= \left( -\frac{1^2}{2} + 2(1) - \left( -\frac{0^2}{2} + 2(0) \right) \right) + \left( \frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2} \right)$

$= -\frac{1}{2} + 2 + 2 - \frac{1}{2} = 3$

(iii) $\int_{0}^{a} \sqrt{1-x^2} dx$ (ただし $0 \le a < 1$)

$x = \sin \theta$ と置換します。すると、$dx = \cos \theta d\theta$ となります。

積分区間は、$x=0$ のとき $\theta = 0$、$x=a$ のとき $\theta = \arcsin a$ となります。

したがって、

$\int_{0}^{a} \sqrt{1-x^2} dx = \int_{0}^{\arcsin a} \sqrt{1-\sin^2 \theta} \cos \theta d\theta$

$= \int_{0}^{\arcsin a} \cos^2 \theta d\theta$

$= \int_{0}^{\arcsin a} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} d\theta$

$= \left[ \frac{\theta}{2} + \frac{\sin 2\theta}{4} \right]_{0}^{\arcsin a}$

$= \left[ \frac{\theta}{2} + \frac{2 \sin \theta \cos \theta}{4} \right]_{0}^{\arcsin a}$

$= \frac{\arcsin a}{2} + \frac{1}{2} \sin (\arcsin a) \cos (\arcsin a) - 0$

$= \frac{\arcsin a}{2} + \frac{1}{2} a \sqrt{1-a^2}$

3. 最終的な答え

(i) $\frac{5}{2}$

(ii) $3$

(iii) $\frac{\arcsin a}{2} + \frac{a\sqrt{1-a^2}}{2}$