$x \geq 0$ において、関数 $y = x^3$ と $y = x$ のグラフが囲む図形の面積を求めよ。

1. 問題の内容

$x \geq 0$ において、関数 $y = x^3$ と $y = x$ のグラフが囲む図形の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^3$ と $y = x$ の交点を求める。

$x^3 = x$ を解くと、

$x^3 - x = 0$

$x(x^2 - 1) = 0$

$x(x-1)(x+1) = 0$

$x = 0, 1, -1$

$x \geq 0$ より、$x = 0, 1$ 。よって、交点は $(0, 0)$ と $(1, 1)$ 。

次に、積分範囲を定め、積分する関数を決める。$0 \leq x \leq 1$ の範囲で、$y = x$ の方が $y = x^3$ より上にあるため、積分する関数は $x - x^3$ となる。

面積 $S$ は、

$S = \int_{0}^{1} (x - x^3) dx$

$S = [\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{4}x^4]_{0}^{1}$

$S = (\frac{1}{2}(1)^2 - \frac{1}{4}(1)^4) - (\frac{1}{2}(0)^2 - \frac{1}{4}(0)^4)$

$S = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$

$S = \frac{2}{4} - \frac{1}{4}$

$S = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}$