問題は、区間 $[a, b]$ 上の関数 $f(x) = 3x^2$ が可積分であることを定義から直接計算によって示すとともに、その積分値を求めるものです。具体的には、(1) 可積分の定義式を $f(x) = 3x^2$ の場合に書き下し、(2) 定義式に現れる項 $3\xi_i^2 (x_i - x_{i-1})$ と $x_i^3 - x_{i-1}^3$ の誤差を $| \Delta | (x_i - x_{i-1})$ 以下の形で評価し、(3) その結果を用いて、積分値が $b^3 - a^3$ に収束することを示す、という手順です。

1. 問題の内容

問題は、区間 $[a, b]$ 上の関数 $f(x) = 3x^2$ が可積分であることを定義から直接計算によって示すとともに、その積分値を求めるものです。具体的には、(1) 可積分の定義式を $f(x) = 3x^2$ の場合に書き下し、(2) 定義式に現れる項 $3\xi_i^2 (x_i - x_{i-1})$ と $x_i^3 - x_{i-1}^3$ の誤差を $| \Delta | (x_i - x_{i-1})$ 以下の形で評価し、(3) その結果を用いて、積分値が $b^3 - a^3$ に収束することを示す、という手順です。

2. 解き方の手順

(1) 可積分の定義式を $f(x) = 3x^2$ の場合に書き下す。

区間 $[a, b]$ を $n$ 個に分割し、$x_0 = a, x_n = b$ とし、$x_{i-1} \le \xi_i \le x_i$ を満たす $\xi_i$ をとる。このとき、リーマン和は

$S = \sum_{i=1}^n f(\xi_i) (x_i - x_{i-1}) = \sum_{i=1}^n 3 \xi_i^2 (x_i - x_{i-1})$

となる。$\Delta = \max \{x_i - x_{i-1} | 1 \le i \le n \}$ とするとき、$\lim_{\Delta \to 0} S$ が存在すれば、$f(x) = 3x^2$ は $[a, b]$ で可積分であり、その極限値が定積分 $\int_a^b f(x) dx$ となる。

(2) 誤差 $|3\xi_i^2 (x_i - x_{i-1}) - (x_i^3 - x_{i-1}^3)|$ を $| \Delta | (x_i - x_{i-1})$ 以下の形で評価する。

まず、$x_i^3 - x_{i-1}^3 = (x_i - x_{i-1})(x_i^2 + x_i x_{i-1} + x_{i-1}^2)$ である。

$|3\xi_i^2 (x_i - x_{i-1}) - (x_i^3 - x_{i-1}^3)| = |3\xi_i^2 (x_i - x_{i-1}) - (x_i - x_{i-1})(x_i^2 + x_i x_{i-1} + x_{i-1}^2)| = |(x_i - x_{i-1})(3\xi_i^2 - x_i^2 - x_i x_{i-1} - x_{i-1}^2)|$

ここで、ヒントにあるように

$3\xi_i^2 - x_i^2 - x_i x_{i-1} - x_{i-1}^2 = 3(\xi_i^2 - x_i^2) + x_i^2 - x_i x_{i-1} + x_i^2 - x_{i-1}^2 = 3(\xi_i^2 - x_i^2) + (x_i - x_{i-1})(x_i + x_{i-1}) + (x_i - x_{i-1})(x_i + x_{i-1})$

$\xi_i$ は $x_{i-1} \le \xi_i \le x_i$ なので、$| \xi_i - x_i| \leq |x_i - x_{i-1}| \leq \Delta$

$|3(\xi_i^2 - x_i^2)| = 3|\xi_i + x_i| | \xi_i - x_i | \leq 3 (x_i + x_i) \Delta = 6x_i \Delta$

$|x_i^2 - x_ix_{i-1}| = |x_i(x_i-x_{i-1})| = x_i (x_i - x_{i-1})$

$|x_ix_{i-1}-x_{i-1}^2| = |x_{i-1}(x_i-x_{i-1})| = x_{i-1}(x_i - x_{i-1})$

$|(x_i - x_{i-1})(x_i + x_{i-1})| = (x_i - x_{i-1})(x_i + x_{i-1}) \le (x_i + x_{i-1})\Delta$.

したがって,

$|3\xi_i^2 - x_i^2 - x_i x_{i-1} - x_{i-1}^2| \le 3|x_i^2-\xi_i^2| + |x_i^2-x_ix_{i-1}| + |x_i x_{i-1}-x_{i-1}^2|$

$\le 3|x_i+\xi_i||x_i-\xi_i| + x_i (x_i-x_{i-1}) + x_{i-1}(x_i-x_{i-1}) \le 6x_i \Delta + (x_i + x_{i-1})\Delta \le (6x_i + x_i + x_i)\Delta = 8x_i \Delta$

誤差は $|(x_i - x_{i-1})(3\xi_i^2 - x_i^2 - x_i x_{i-1} - x_{i-1}^2)| \le 8x_i (x_i - x_{i-1}) \Delta$。

(3) 極限が $b^3 - a^3$ に収束することを示す。

$\sum_{i=1}^n 3\xi_i^2 (x_i - x_{i-1}) = \sum_{i=1}^n (x_i^3 - x_{i-1}^3) + \sum_{i=1}^n (3\xi_i^2 (x_i - x_{i-1}) - (x_i^3 - x_{i-1}^3))$

$\sum_{i=1}^n (x_i^3 - x_{i-1}^3) = x_n^3 - x_0^3 = b^3 - a^3$

$\sum_{i=1}^n |3\xi_i^2 (x_i - x_{i-1}) - (x_i^3 - x_{i-1}^3)| \le \sum_{i=1}^n 8x_i (x_i - x_{i-1}) \Delta$。

$\Delta \to 0$ のとき、右辺は $0$ に収束するので、$\lim_{\Delta \to 0} \sum_{i=1}^n 3\xi_i^2 (x_i - x_{i-1}) = b^3 - a^3$ となる。

3. 最終的な答え

関数 $f(x) = 3x^2$ は区間 $[a, b]$ で可積分であり、その積分値は $b^3 - a^3$ である。

$\int_a^b 3x^2 dx = b^3 - a^3$