与えられた2つの不定積分を計算します。 (i) $\int \frac{1}{\sqrt{2-3x^2}}dx$ (ii) $\int \frac{x^2+1}{x^2+2}dx$

1. 問題の内容

与えられた2つの不定積分を計算します。

(i) $\int \frac{1}{\sqrt{2-3x^2}}dx$

(ii) $\int \frac{x^2+1}{x^2+2}dx$

2. 解き方の手順

(i) $\int \frac{1}{\sqrt{2-3x^2}}dx$ について

まず、$x$ の係数を1にするために、定数項をくくり出します。

$\int \frac{1}{\sqrt{2-3x^2}}dx = \int \frac{1}{\sqrt{3(\frac{2}{3}-x^2)}}dx = \frac{1}{\sqrt{3}} \int \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{3}-x^2}}dx$

ここで、$x = \sqrt{\frac{2}{3}} \sin{\theta}$ と置換します。すると、$dx = \sqrt{\frac{2}{3}} \cos{\theta} d\theta$ となります。

したがって、

$\frac{1}{\sqrt{3}} \int \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{3} - \frac{2}{3}\sin^2{\theta}}} \sqrt{\frac{2}{3}} \cos{\theta} d\theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \int \frac{\sqrt{\frac{2}{3}} \cos{\theta}}{\sqrt{\frac{2}{3}(1-\sin^2{\theta})}} d\theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \int \frac{\sqrt{\frac{2}{3}} \cos{\theta}}{\sqrt{\frac{2}{3}} \cos{\theta}} d\theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \int 1 d\theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \theta + C$

$\theta = \arcsin{\left(\sqrt{\frac{3}{2}}x\right)}$ より、

$\int \frac{1}{\sqrt{2-3x^2}}dx = \frac{1}{\sqrt{3}} \arcsin{\left(\sqrt{\frac{3}{2}}x\right)} + C$

(ii) $\int \frac{x^2+1}{x^2+2}dx$ について

$\frac{x^2+1}{x^2+2} = \frac{x^2+2-1}{x^2+2} = 1 - \frac{1}{x^2+2}$

したがって、

$\int \frac{x^2+1}{x^2+2}dx = \int (1 - \frac{1}{x^2+2})dx = \int 1 dx - \int \frac{1}{x^2+2}dx = x - \int \frac{1}{x^2+(\sqrt{2})^2}dx$

ここで、$\int \frac{1}{x^2+a^2}dx = \frac{1}{a} \arctan{\frac{x}{a}} + C$ を利用します。

$\int \frac{1}{x^2+2}dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan{\frac{x}{\sqrt{2}}} + C$

したがって、

$\int \frac{x^2+1}{x^2+2}dx = x - \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan{\frac{x}{\sqrt{2}}} + C$

3. 最終的な答え

(i) $\int \frac{1}{\sqrt{2-3x^2}}dx = \frac{1}{\sqrt{3}} \arcsin{\left(\sqrt{\frac{3}{2}}x\right)} + C$

(ii) $\int \frac{x^2+1}{x^2+2}dx = x - \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan{\frac{x}{\sqrt{2}}} + C$