$\int x \lambda e^{-\lambda x} dx$ を計算してください。ただし、$\lambda > 0$ は定数です。

1. 問題の内容

$\int x \lambda e^{-\lambda x} dx$ を計算してください。ただし、$\lambda > 0$ は定数です。

2. 解き方の手順

この積分は、部分積分を用いて解くことができます。

部分積分の公式は、$\int u dv = uv - \int v du$ です。

$u = x$ と $dv = \lambda e^{-\lambda x} dx$ とします。

このとき、$du = dx$ であり、$v = \int \lambda e^{-\lambda x} dx = -e^{-\lambda x}$ となります。

したがって、

$\int x \lambda e^{-\lambda x} dx = x(-e^{-\lambda x}) - \int (-e^{-\lambda x}) dx$

$= -xe^{-\lambda x} + \int e^{-\lambda x} dx$

$= -xe^{-\lambda x} - \frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x} + C$

$= -\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda x}(\lambda x + 1) + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda x}(\lambda x + 1) + C$