$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、次の方程式と不等式を解きます。 (1) $2\cos{x} - \sqrt{3} = 0$ (2) $\sqrt{2}\sin{x} \le 1$ (3) $\cos{2x} - 3\cos{x} + 2 = 0$ (4) $\sin{2x} = \sin{x}$ (5) $2\cos^2{x} + 3\cos{x} - 2 < 0$ (6) $\sqrt{3}\sin{x} - \cos{x} > 1$

はい、承知いたしました。与えられた三角関数の方程式と不等式を解きます。

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、次の方程式と不等式を解きます。

(1) $2\cos{x} - \sqrt{3} = 0$

(2) $\sqrt{2}\sin{x} \le 1$

(3) $\cos{2x} - 3\cos{x} + 2 = 0$

(4) $\sin{2x} = \sin{x}$

(5) $2\cos^2{x} + 3\cos{x} - 2 < 0$

(6) $\sqrt{3}\sin{x} - \cos{x} > 1$

2. 解き方の手順

(1) $2\cos{x} - \sqrt{3} = 0$

$\cos{x} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$0 \le x < 2\pi$ より、

$x = \frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$

(2) $\sqrt{2}\sin{x} \le 1$

$\sin{x} \le \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin{x} \le \frac{\sqrt{2}}{2}$

$0 \le x < 2\pi$ より、

$0 \le x \le \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} \le x < 2\pi$

(3) $\cos{2x} - 3\cos{x} + 2 = 0$

$\cos{2x} = 2\cos^2{x} - 1$ より、

$2\cos^2{x} - 1 - 3\cos{x} + 2 = 0$

$2\cos^2{x} - 3\cos{x} + 1 = 0$

$(2\cos{x} - 1)(\cos{x} - 1) = 0$

$\cos{x} = \frac{1}{2}, 1$

$0 \le x < 2\pi$ より、

$x = 0, \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

(4) $\sin{2x} = \sin{x}$

$2\sin{x}\cos{x} = \sin{x}$

$2\sin{x}\cos{x} - \sin{x} = 0$

$\sin{x}(2\cos{x} - 1) = 0$

$\sin{x} = 0, \cos{x} = \frac{1}{2}$

$0 \le x < 2\pi$ より、

$x = 0, \pi, \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

(5) $2\cos^2{x} + 3\cos{x} - 2 < 0$

$(2\cos{x} - 1)(\cos{x} + 2) < 0$

$-1 \le \cos{x} \le 1$ より、$\cos{x} + 2 > 0$ なので、

$2\cos{x} - 1 < 0$

$\cos{x} < \frac{1}{2}$

$0 \le x < 2\pi$ より、

$\frac{\pi}{3} < x < \frac{5\pi}{3}$

(6) $\sqrt{3}\sin{x} - \cos{x} > 1$

$2(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin{x} - \frac{1}{2}\cos{x}) > 1$

$2(\sin{x}\cos{\frac{\pi}{6}} - \cos{x}\sin{\frac{\pi}{6}}) > 1$

$2\sin{(x - \frac{\pi}{6})} > 1$

$\sin{(x - \frac{\pi}{6})} > \frac{1}{2}$

$x - \frac{\pi}{6} = \theta$ とおくと、

$\sin{\theta} > \frac{1}{2}$

$-\frac{\pi}{6} \le \theta < \frac{11\pi}{6}$

$\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{5\pi}{6}$

$\frac{\pi}{6} < x - \frac{\pi}{6} < \frac{5\pi}{6}$

$\frac{\pi}{3} < x < \pi$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$

(2) $0 \le x \le \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} \le x < 2\pi$

(3) $x = 0, \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

(4) $x = 0, \pi, \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

(5) $\frac{\pi}{3} < x < \frac{5\pi}{3}$

(6) $\frac{\pi}{3} < x < \pi$