定積分 $\int_{1}^{2} (2x-3)(x-1)^2 dx$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{2} (2x-3)(x-1)^2 dx$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、積分する関数を展開します。

$(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$

$(2x-3)(x-1)^2 = (2x-3)(x^2 - 2x + 1) = 2x^3 - 4x^2 + 2x - 3x^2 + 6x - 3 = 2x^3 - 7x^2 + 8x - 3$

次に、不定積分を計算します。

$\int (2x^3 - 7x^2 + 8x - 3) dx = \frac{1}{2}x^4 - \frac{7}{3}x^3 + 4x^2 - 3x + C$

最後に、定積分の値を計算します。

$\int_{1}^{2} (2x-3)(x-1)^2 dx = \left[ \frac{1}{2}x^4 - \frac{7}{3}x^3 + 4x^2 - 3x \right]_{1}^{2}$

$=\left( \frac{1}{2}(2^4) - \frac{7}{3}(2^3) + 4(2^2) - 3(2) \right) - \left( \frac{1}{2}(1^4) - \frac{7}{3}(1^3) + 4(1^2) - 3(1) \right)$

$=\left( 8 - \frac{56}{3} + 16 - 6 \right) - \left( \frac{1}{2} - \frac{7}{3} + 4 - 3 \right)$

$=\left( 18 - \frac{56}{3} \right) - \left( \frac{1}{2} - \frac{7}{3} + 1 \right)$

$=18 - \frac{56}{3} - \frac{1}{2} + \frac{7}{3} - 1$

$=17 - \frac{49}{3} - \frac{1}{2} = \frac{102 - 98 - 3}{6} = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{6}$