3次関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ について以下の問いに答える問題です。 (1) $f(x)$ の極大値と極小値を求め、それぞれの $x$ の値を答えます。 (2) $f(a) = f(2a)$ を満たす実数 $a$ を求めます。 (3) $0 \leq a \leq 1$ とし、$a \leq x \leq 2a$ における $f(x)$ の最大値を $a$ の関数 $g(a)$ として求め、$y = g(a)$ のグラフを描き、その最大値を求めます。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ について以下の問いに答える問題です。

(1) $f(x)$ の極大値と極小値を求め、それぞれの $x$ の値を答えます。

(2) $f(a) = f(2a)$ を満たす実数 $a$ を求めます。

(3) $0 \leq a \leq 1$ とし、$a \leq x \leq 2a$ における $f(x)$ の最大値を $a$ の関数 $g(a)$ として求め、$y = g(a)$ のグラフを描き、その最大値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。これは、$f(x)$ の極値を取る $x$ の候補です。

$3x^2 - 6x + 2 = 0$

解の公式より、$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

$x_1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$、$x_2 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$ とします。

$f''(x) = 6x - 6$ なので、$f''(x_1) = 6(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) - 6 = -2\sqrt{3} < 0$ より、$x_1$ で極大値を取ります。

$f''(x_2) = 6(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}) - 6 = 2\sqrt{3} > 0$ より、$x_2$ で極小値を取ります。

$f(x_1) = f(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) = (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})^3 - 3(1 - \frac{\sqrt{3}}{3})^2 + 2(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9}\sqrt{3}$

$f(x_2) = f(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}) = (1 + \frac{\sqrt{3}}{3})^3 - 3(1 + \frac{\sqrt{3}}{3})^2 + 2(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{2}{9}\sqrt{3}$

(2) $f(a) = f(2a)$ を満たす $a$ を求めます。

$a^3 - 3a^2 + 2a = (2a)^3 - 3(2a)^2 + 2(2a)$

$a^3 - 3a^2 + 2a = 8a^3 - 12a^2 + 4a$

$7a^3 - 9a^2 + 2a = 0$

$a(7a^2 - 9a + 2) = 0$

$a(7a - 2)(a - 1) = 0$

よって、$a = 0, \frac{2}{7}, 1$

(3) $0 \leq a \leq 1$ で、$a \leq x \leq 2a$ における $f(x)$ の最大値を $g(a)$ とします。

まず、$f(0) = 0$, $f(1) = 0$ であることに注意します。

$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 = 0$ の解は $x = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ であり、$1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.423$, $1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 1.577$ です。

$f(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2\sqrt{3}}{9} \approx 0.385$

$f(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{2\sqrt{3}}{9} \approx -0.385$

$a = 0$ のとき、$g(0) = f(0) = 0$

$a = 1$ のとき、$g(1) = \max(f(1), f(2)) = \max(0, 0) = 0$

$0 < a \leq 1$ を考えます。

$a \leq x \leq 2a$ における $f(x)$ の最大値を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$

$f'(x) = 0$ の解は $x = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ です。

極大値を取る $x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ が $a \leq x \leq 2a$ に含まれるかどうかで場合分けします。

$a \leq 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \leq 2a$ を満たすとき、$g(a) = \frac{2\sqrt{3}}{9}$

$a \leq 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ を満たすのは $a \leq 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.423$

$1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \leq 2a$ を満たすのは $a \geq \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6} \approx 0.211$

$1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \leq a \leq 1$ を満たすとき、$a \leq x \leq 2a$ に $1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ は含まれない。

$0 \leq a \leq 1$ より、$g(a)$ は $a \leq x \leq 2a$ における $f(x)$ の最大値です。

$a = 2/7 \approx 0.286$の時、$2a = 4/7 \approx 0.571$ で、$1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.423$なので、$x = 1-\frac{\sqrt{3}}{3}$は区間$[2/7, 4/7]$に含まれる。

$g(a) = f(1 - \frac{\sqrt{3}}{3})$ が最大値である。

3. 最終的な答え

(1) 極大値: $x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$, 極大値 $= \frac{2\sqrt{3}}{9}$

極小値: $x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$, 極小値 $= -\frac{2\sqrt{3}}{9}$

(2) $a = 0, \frac{2}{7}, 1$

(3) $y = g(a)$ のグラフは省略します。最大値は $\frac{2\sqrt{3}}{9}$