関数 $y = x^{\frac{1}{x}}$ の増減、極値を調べ、グラフの概形を描く。

## 問題 3.(1)

1. 問題の内容

関数 $y = x^{\frac{1}{x}}$ の増減、極値を調べ、グラフの概形を描く。

2. 解き方の手順

(1) 関数の定義域を確認する。

$x > 0$ である。

(2) 対数をとる。

$\log y = \frac{1}{x} \log x$

(3) 両辺を $x$ で微分する。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} + (-\frac{1}{x^2})\log x$

$\frac{y'}{y} = \frac{1 - \log x}{x^2}$

$y' = y \cdot \frac{1 - \log x}{x^2} = x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1 - \log x}{x^2}$

(4) $y' = 0$ となる $x$ を求める。

$x^{\frac{1}{x}} > 0$ かつ $x^2 > 0$ であるから、

$1 - \log x = 0$

$\log x = 1$

$x = e$

(5) 増減表を作成する。

| x | 0 < x < e | x = e | e < x |

| ----- | ----------------- | --------------- | ----------- |

| y' | + | 0 | - |

| y | 増加 | 極大値 $e^{\frac{1}{e}}$ | 減少 |

(6) 極値を求める。

$x = e$ のとき、 $y = e^{\frac{1}{e}}$。よって、極大値は$e^{\frac{1}{e}}$。

極小値は存在しない。

(7) グラフの概形を描く。

$x \to +0$ のとき、$x^{\frac{1}{x}} \to 0$。

$x \to \infty$ のとき、$x^{\frac{1}{x}} \to 1$。

$x=e$ で極大値$e^{\frac{1}{e}}$をとる。

3. 最終的な答え

関数 $y = x^{\frac{1}{x}}$ は $0 < x < e$ で増加し、$x > e$ で減少する。

$x = e$ で極大値 $e^{\frac{1}{e}}$ をとる。

$x \to +0$ のとき、$y \to 0$。

$x \to \infty$ のとき、$y \to 1$。

## 問題 3.(2)

1. 問題の内容

関数 $y = x \log x$ の増減、極値を調べ、グラフの概形を描く。

2. 解き方の手順

(1) 関数の定義域を確認する。

$x > 0$ である。

(2) $y$ を $x$ で微分する。

$y' = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

(3) $y' = 0$ となる $x$ を求める。

$\log x + 1 = 0$

$\log x = -1$

$x = e^{-1} = \frac{1}{e}$

(4) 増減表を作成する。

| x | 0 < x < 1/e | x = 1/e | 1/e < x |

| ----- | ----------------- | --------------- | ----------- |

| y' | - | 0 | + |

| y | 減少 | 極小値 $-e^{-1}$ | 増加 |

(5) 極値を求める。

$x = \frac{1}{e}$ のとき、$y = \frac{1}{e} \log (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} (-1) = -\frac{1}{e}$。

よって、極小値は$-\frac{1}{e}$。

極大値は存在しない。

(6) グラフの概形を描く。

$x \to +0$ のとき、$x \log x \to 0$。

$x=1$のとき、$y=0$

$x = \frac{1}{e}$ で極小値 $-\frac{1}{e}$ をとる。

3. 最終的な答え

関数 $y = x \log x$ は $0 < x < \frac{1}{e}$ で減少し、$x > \frac{1}{e}$ で増加する。

$x = \frac{1}{e}$ で極小値 $-\frac{1}{e}$ をとる。

$x \to +0$ のとき、$y \to 0$。

$x=1$のとき、$y=0$