与えられた2つの不等式を証明する問題です。 (1) $x \le (1+x)\log(1+x)$, ($x \ge 0$) (2) $e^x \le \frac{1}{1-x}$, ($x < 1$)

1. 問題の内容

与えられた2つの不等式を証明する問題です。

(1) $x \le (1+x)\log(1+x)$, ($x \ge 0$)

(2) $e^x \le \frac{1}{1-x}$, ($x < 1$)

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = (1+x)\log(1+x) - x$ とおきます。$x \ge 0$ で $f(x) \ge 0$ を示すことを目指します。

まず、$f(0) = (1+0)\log(1+0) - 0 = 1 \cdot \log(1) - 0 = 1 \cdot 0 - 0 = 0$ です。

次に、$f(x)$ の導関数を計算します。

$f'(x) = \log(1+x) + (1+x) \cdot \frac{1}{1+x} - 1 = \log(1+x) + 1 - 1 = \log(1+x)$

$x \ge 0$ のとき、$\log(1+x) \ge \log(1) = 0$ なので、$f'(x) \ge 0$ です。したがって、$f(x)$ は $x \ge 0$ で単調増加です。

$f(0) = 0$ であり、$f(x)$ は単調増加なので、$x \ge 0$ に対して $f(x) \ge 0$ が成り立ちます。

したがって、$x \le (1+x)\log(1+x)$ が成り立ちます。

(2) $g(x) = \frac{1}{1-x} - e^x$ とおきます。$x < 1$ で $g(x) \ge 0$ を示すことを目指します。

まず、$x = 0$ のとき $g(0) = \frac{1}{1-0} - e^0 = 1 - 1 = 0$ です。

次に、$g(x)$ の導関数を計算します。

$g'(x) = \frac{1}{(1-x)^2} - e^x$

$x < 1$ において、$h(x) = \frac{1}{(1-x)^2} - e^x$ について考えます。

$h(0) = \frac{1}{(1-0)^2} - e^0 = 1 - 1 = 0$ です。

$h'(x) = \frac{2}{(1-x)^3} - e^x$

$x < 1$ では $\frac{2}{(1-x)^3} > 0$ かつ $e^x > 0$ です。

$e^x$ のマクローリン展開は $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$ です。

$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots$ なので、

$\frac{1}{(1-x)^2} = (1 + x + x^2 + x^3 + \dots)^2 = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots$

$\frac{1}{(1-x)^2} = 1 + 2x + 3x^2 + \dots$

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \dots$

したがって、$x < 1$ において、$g(x) \ge 0$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $x \le (1+x)\log(1+x)$　($x \ge 0$)

(2) $e^x \le \frac{1}{1-x}$　($x < 1$)