$a > 0$とする。2次関数 $y = x(a-x)$ のグラフと $x$ 軸で囲まれた図形の面積が4となるとき、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a > 0$とする。2次関数 $y = x(a-x)$ のグラフと $x$ 軸で囲まれた図形の面積が4となるとき、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた関数 $y = x(a-x) = ax - x^2$ のグラフと $x$ 軸との交点を求める。

$y = 0$ となる $x$ の値を求める。

$ax - x^2 = 0$

$x(a-x) = 0$

$x = 0, a$

$a > 0$ より、グラフは $x=0$ と $x=a$ で $x$ 軸と交わる。また、$0 < x < a$ において $y > 0$ である。

グラフと $x$ 軸で囲まれた面積 $S$ は、

$S = \int_{0}^{a} (ax - x^2) dx$

$S = \left[ \frac{a}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{a}$

$S = \frac{a}{2}a^2 - \frac{1}{3}a^3 - (0 - 0)$

$S = \frac{a^3}{2} - \frac{a^3}{3}$

$S = \frac{3a^3 - 2a^3}{6} = \frac{a^3}{6}$

面積が4となるので、$S = 4$ である。

$\frac{a^3}{6} = 4$

$a^3 = 24$

$a = \sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8 \times 3} = 2\sqrt[3]{3}$

3. 最終的な答え

$a = 2\sqrt[3]{3}$