(1) $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の範囲で $\sin \theta - \cos \theta = \frac{2}{3}$ が与えられたとき、$\sin \theta \cos \theta$ と $\cos 2\theta$ の値を求めよ。 (2) $\sin x - \sin y = \frac{1}{2}$ かつ $\cos x - \cos y = \frac{1}{3}$ が与えられたとき、$\cos(x-y)$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の範囲で $\sin \theta - \cos \theta = \frac{2}{3}$ が与えられたとき、$\sin \theta \cos \theta$ と $\cos 2\theta$ の値を求めよ。

(2) $\sin x - \sin y = \frac{1}{2}$ かつ $\cos x - \cos y = \frac{1}{3}$ が与えられたとき、$\cos(x-y)$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta - \cos \theta = \frac{2}{3}$ の両辺を2乗する。

$(\sin \theta - \cos \theta)^2 = (\frac{2}{3})^2$

$\sin^2 \theta - 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{4}{9}$

$1 - 2\sin \theta \cos \theta = \frac{4}{9}$

$2\sin \theta \cos \theta = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$\sin \theta \cos \theta = \frac{5}{18}$

次に、$\cos 2\theta$ の値を求める。

$\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = (\cos \theta - \sin \theta)(\cos \theta + \sin \theta) = -(\sin \theta - \cos \theta)(\cos \theta + \sin \theta)$

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 1 + 2\sin \theta \cos \theta = 1 + 2(\frac{5}{18}) = 1 + \frac{5}{9} = \frac{14}{9}$

$\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{\frac{14}{9}} = \frac{\sqrt{14}}{3}$ (∵$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ より $\sin \theta \ge 0, \cos \theta \ge 0$ なので $\sin \theta + \cos \theta \ge 0$)

$\cos 2\theta = -(\sin \theta - \cos \theta)(\sin \theta + \cos \theta) = -(\frac{2}{3})(\frac{\sqrt{14}}{3}) = -\frac{2\sqrt{14}}{9}$

(2) $\sin x - \sin y = \frac{1}{2}$ と $\cos x - \cos y = \frac{1}{3}$ の両辺をそれぞれ2乗する。

$(\sin x - \sin y)^2 = (\frac{1}{2})^2$

$\sin^2 x - 2\sin x \sin y + \sin^2 y = \frac{1}{4}$

$(\cos x - \cos y)^2 = (\frac{1}{3})^2$

$\cos^2 x - 2\cos x \cos y + \cos^2 y = \frac{1}{9}$

2つの式を足し合わせる。

$(\sin^2 x + \cos^2 x) + (\sin^2 y + \cos^2 y) - 2(\sin x \sin y + \cos x \cos y) = \frac{1}{4} + \frac{1}{9}$

$1 + 1 - 2\cos(x-y) = \frac{9+4}{36} = \frac{13}{36}$

$2 - 2\cos(x-y) = \frac{13}{36}$

$2\cos(x-y) = 2 - \frac{13}{36} = \frac{72-13}{36} = \frac{59}{36}$

$\cos(x-y) = \frac{59}{72}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \theta \cos \theta = \frac{5}{18}$, $\cos 2\theta = -\frac{2\sqrt{14}}{9}$

(2) $\cos(x-y) = \frac{59}{72}$