与えられた極限を計算します。 $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x}$$

はい、承知いたしました。問題を解いて回答を作成します。

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x}$$

2. 解き方の手順

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用して、与えられた極限を計算します。

まず、分子と分母をそれぞれ $x$ で割ります。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 2x}{x}}{\frac{\sin 5x}{x}}$$

次に、分子と分母にそれぞれ適切な数をかけ、$\frac{\sin ax}{ax}$ の形を作ります。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 2x}{x}}{\frac{\sin 5x}{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 2x}{2x} \cdot 2}{\frac{\sin 5x}{5x} \cdot 5} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 2x}{2x}}{\frac{\sin 5x}{5x}} \cdot \frac{2}{5}$$

$x \to 0$ のとき、$2x \to 0$ および $5x \to 0$ であるため、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 1$ および $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} = 1$ が成り立ちます。したがって、

$$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 2x}{2x}}{\frac{\sin 5x}{5x}} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{5}$$

3. 最終的な答え

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x} = \frac{2}{5}$$