3次関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ について、 (1) $f(x)$ の極大値と極小値、およびそのときの $x$ の値を求める。 (2) $f(a) = f(2a)$ を満たす実数 $a$ をすべて求める。 (3) $0 \le a \le 1$ において、$a \le x \le 2a$ における $f(x)$ の最大値を $g(a)$ とするとき、$y = g(a)$ のグラフをかき、その最大値を求める。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ について、

(1) $f(x)$ の極大値と極小値、およびそのときの $x$ の値を求める。

(2) $f(a) = f(2a)$ を満たす実数 $a$ をすべて求める。

(3) $0 \le a \le 1$ において、$a \le x \le 2a$ における $f(x)$ の最大値を $g(a)$ とするとき、$y = g(a)$ のグラフをかき、その最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ を微分する。

$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

$x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ のとき、$f'(x)$ は正から負に変わるので極大値。

$x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$ のとき、$f'(x)$ は負から正に変わるので極小値。

$f(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) = (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})^3 - 3(1 - \frac{\sqrt{3}}{3})^2 + 2(1 - \frac{\sqrt{3}}{3})$

$= 1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{9} - 3(1 - \frac{2\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{3}) + 2 - \frac{2\sqrt{3}}{3}$

$= 1 - \sqrt{3} + \frac{1}{3\sqrt{3}} - 3 + 2\sqrt{3} - 1 + 2 - \frac{2\sqrt{3}}{3}$

$= -1 + \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{2\sqrt{3}}{3}$

$= \sqrt{3} - 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3} - 1$

$f(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}) = (1 + \frac{\sqrt{3}}{3})^3 - 3(1 + \frac{\sqrt{3}}{3})^2 + 2(1 + \frac{\sqrt{3}}{3})$

$= 1 + \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{9} - 3(1 + \frac{2\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{3}) + 2 + \frac{2\sqrt{3}}{3}$

$= 1 + \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} - 3 - 2\sqrt{3} - 1 + 2 + \frac{2\sqrt{3}}{3}$

$= -\sqrt{3} + \sqrt{3} = 0$

(2)

$f(a) = a^3 - 3a^2 + 2a$

$f(2a) = (2a)^3 - 3(2a)^2 + 2(2a) = 8a^3 - 12a^2 + 4a$

$f(a) = f(2a)$ より

$a^3 - 3a^2 + 2a = 8a^3 - 12a^2 + 4a$

$7a^3 - 9a^2 + 2a = 0$

$a(7a^2 - 9a + 2) = 0$

$a(7a-2)(a-1) = 0$

$a = 0, a = \frac{2}{7}, a = 1$

(3)

$0 \le a \le 1$ において、$a \le x \le 2a$ における $f(x)$ の最大値を $g(a)$ とする。

$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 = 0$ の解は $x = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

$1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 1 - \frac{1.732}{3} \approx 1 - 0.577 \approx 0.423$

$1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 1 + 0.577 \approx 1.577$

$0 \le a \le 1$ であるから、 $a \le x \le 2a$ の範囲で $1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$ は考える必要がない。

$a \le 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \le 2a$ となる $a$ の範囲を考える。

$a \le 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ は常に成り立つ。

$1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \le 2a$ より、$a \ge \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6}$

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6} \approx 0.5 - \frac{1.732}{6} \approx 0.5 - 0.289 \approx 0.211$

$a < \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6}$ のとき、$a \le x \le 2a$ で $f'(x) \ne 0$

$f(x)$ は単調減少か単調増加である。

$a \ge \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6}$ のとき、$a \le x \le 2a$ で $x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ が存在する可能性がある。

$x = 0, x = \frac{2}{3}で極値をとることを考慮する

$g(a)$ の最大値は $f(1/3) = 1/27 - 3/9 + 2/3 = 1/27 - 9/27 + 18/27 = 10/27$

3. 最終的な答え

(1) 極大値: $\frac{2\sqrt{3}}{3}-1$ ($x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$), 極小値: 0 ($x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$)

(2) $a = 0, \frac{2}{7}, 1$

(3) $g(a)$ のグラフは省略. 最大値: $\frac{10}{27}$