次の極限を求めます。 (1) $\lim_{x \to 1} \frac{\log x}{x^2 - 1}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin x - \sin(2x)}{2e^x - 2 - 2x - x^2}$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{\log x}{x^2 - 1}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin x - \sin(2x)}{2e^x - 2 - 2x - x^2}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{\log x}{x^2 - 1}$

$x \to 1$のとき、$\log x \to 0$、 $x^2 - 1 \to 0$となるため、ロピタルの定理が使えます。

$\lim_{x \to 1} \frac{\log x}{x^2 - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{2x} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{2x^2} = \frac{1}{2}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin x - \sin(2x)}{2e^x - 2 - 2x - x^2}$

$x \to 0$のとき、 $2 \sin x - \sin(2x) \to 0$、 $2e^x - 2 - 2x - x^2 \to 0$となるため、ロピタルの定理が使えます。

まず、$\sin(2x) = 2\sin x \cos x$なので、

$2 \sin x - \sin(2x) = 2 \sin x - 2 \sin x \cos x = 2 \sin x (1 - \cos x)$

$2e^x$のマクローリン展開を考えます。

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$

$2e^x = 2 + 2x + x^2 + \frac{x^3}{3} + \dots$

$2e^x - 2 - 2x - x^2 = \frac{x^3}{3} + O(x^4)$

$2\sin x - \sin(2x) = 2\sin x (1 - \cos x)$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + O(x^5)$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + O(x^6)$

$1 - \cos x = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + O(x^6)$

$2\sin x (1 - \cos x) = 2(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5))(\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + O(x^6)) = x^3 - \frac{x^5}{12} - \frac{x^5}{6} + O(x^7) = x^3 - \frac{x^5}{4} + O(x^7)$

$\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin x - \sin(2x)}{2e^x - 2 - 2x - x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3 - \frac{x^5}{4} + O(x^7)}{\frac{x^3}{3} + O(x^4)} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{x^2}{4} + O(x^4)}{\frac{1}{3} + O(x)} = 3$

ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin x - \sin(2x)}{2e^x - 2 - 2x - x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \cos x - 2 \cos(2x)}{2e^x - 2 - 2x}$

$x \to 0$のとき、$2 \cos x - 2 \cos(2x) \to 0$、 $2e^x - 2 - 2x \to 0$なので、再度ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{-2 \sin x + 4 \sin(2x)}{2e^x - 2}$

$x \to 0$のとき、$-2 \sin x + 4 \sin(2x) \to 0$、 $2e^x - 2 \to 0$なので、再度ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{-2 \cos x + 8 \cos(2x)}{2e^x} = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}$

(2) 3