$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、方程式 $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 1$ を解く問題です。

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、方程式 $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 1$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、左辺を合成します。

$\sin x + \sqrt{3} \cos x = R \sin(x+\alpha)$ となる $R$ と $\alpha$ を求めます。

$R\cos\alpha = 1$, $R\sin\alpha = \sqrt{3}$ です。

$R^2 = (R\cos\alpha)^2 + (R\sin\alpha)^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$ より、$R = 2$ （$R>0$）。

$\cos\alpha = \frac{1}{2}$, $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より、$\alpha = \frac{\pi}{3}$ です。

したがって、$\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2\sin(x+\frac{\pi}{3})$ となります。

与えられた方程式は $2\sin(x+\frac{\pi}{3}) = 1$ と書き換えられます。

$\sin(x+\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

$x+\frac{\pi}{3} = \theta$ とおくと、$\sin\theta = \frac{1}{2}$ となります。

$0 \le x < 2\pi$ より、$\frac{\pi}{3} \le x + \frac{\pi}{3} < 2\pi + \frac{\pi}{3}$ 、つまり $\frac{\pi}{3} \le \theta < \frac{7\pi}{3}$ です。

$\sin \theta = \frac{1}{2}$ を満たす$\theta$は、$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}, \dots$です。

$\frac{\pi}{3} \le \theta < \frac{7\pi}{3}$ の範囲で考えると、$\theta = \frac{5\pi}{6}$ および $\theta = \frac{13\pi}{6}$ です。

$x+\frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}$ より $x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.

$x+\frac{\pi}{3} = \frac{13\pi}{6}$ より $x = \frac{13\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = \frac{13\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$.

3. 最終的な答え

$x = \frac{\pi}{2}, \frac{11\pi}{6}$