関数 $y = \frac{2}{3}x^3 - \frac{7}{2}x^2 + 3x$ の増減を調べ、グラフを描け。

解析学微分増減極値三次関数グラフ
2025/6/15

1. 問題の内容

関数 y=23x372x2+3xy = \frac{2}{3}x^3 - \frac{7}{2}x^2 + 3x の増減を調べ、グラフを描け。

2. 解き方の手順

まず、関数を微分して導関数を求めます。
y=ddx(23x372x2+3x)=2x27x+3y' = \frac{d}{dx} (\frac{2}{3}x^3 - \frac{7}{2}x^2 + 3x) = 2x^2 - 7x + 3
次に、導関数が0になるxを求めます。
2x27x+3=02x^2 - 7x + 3 = 0
(2x1)(x3)=0(2x - 1)(x - 3) = 0
x=12,3x = \frac{1}{2}, 3
増減表を作成します。
| x | ... | 1/2 | ... | 3 | ... |
|--------|-----------|---------|-----------|---------|-----------|
| y' | + | 0 | - | 0 | + |
| y | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 |
x=12x = \frac{1}{2} のとき
y=23(12)372(12)2+3(12)=23187214+32=11278+32=221+3624=1724y = \frac{2}{3}(\frac{1}{2})^3 - \frac{7}{2}(\frac{1}{2})^2 + 3(\frac{1}{2}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{8} - \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{4} + \frac{3}{2} = \frac{1}{12} - \frac{7}{8} + \frac{3}{2} = \frac{2 - 21 + 36}{24} = \frac{17}{24}
x=3x = 3 のとき
y=23(3)372(3)2+3(3)=2327729+9=18632+9=27632=54632=92y = \frac{2}{3}(3)^3 - \frac{7}{2}(3)^2 + 3(3) = \frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{7}{2} \cdot 9 + 9 = 18 - \frac{63}{2} + 9 = 27 - \frac{63}{2} = \frac{54 - 63}{2} = -\frac{9}{2}
よって、極大値は (12,1724)(\frac{1}{2}, \frac{17}{24}) で、極小値は (3,92)(3, -\frac{9}{2}) です。

3. 最終的な答え

関数 y=23x372x2+3xy = \frac{2}{3}x^3 - \frac{7}{2}x^2 + 3xx=12x = \frac{1}{2} で極大値 1724\frac{17}{24} をとり、x=3x = 3 で極小値 92-\frac{9}{2} をとる。グラフはこれらの極値を持つ三次関数となる。

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