関数 $y = \frac{2}{3}x^3 - \frac{7}{2}x^2 + 3x$ の増減を調べ、グラフを描け。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{2}{3}x^3 - \frac{7}{2}x^2 + 3x$ の増減を調べ、グラフを描け。

2. 解き方の手順

まず、関数を微分して導関数を求めます。

$y' = \frac{d}{dx} (\frac{2}{3}x^3 - \frac{7}{2}x^2 + 3x) = 2x^2 - 7x + 3$

次に、導関数が0になるxを求めます。

$2x^2 - 7x + 3 = 0$

$(2x - 1)(x - 3) = 0$

$x = \frac{1}{2}, 3$

増減表を作成します。

| x | ... | 1/2 | ... | 3 | ... |

|--------|-----------|---------|-----------|---------|-----------|

| y' | + | 0 | - | 0 | + |

| y | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 |

$x = \frac{1}{2}$ のとき

$y = \frac{2}{3}(\frac{1}{2})^3 - \frac{7}{2}(\frac{1}{2})^2 + 3(\frac{1}{2}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{8} - \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{4} + \frac{3}{2} = \frac{1}{12} - \frac{7}{8} + \frac{3}{2} = \frac{2 - 21 + 36}{24} = \frac{17}{24}$

$x = 3$ のとき

$y = \frac{2}{3}(3)^3 - \frac{7}{2}(3)^2 + 3(3) = \frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{7}{2} \cdot 9 + 9 = 18 - \frac{63}{2} + 9 = 27 - \frac{63}{2} = \frac{54 - 63}{2} = -\frac{9}{2}$

よって、極大値は $(\frac{1}{2}, \frac{17}{24})$ で、極小値は $(3, -\frac{9}{2})$ です。

3. 最終的な答え

関数 $y = \frac{2}{3}x^3 - \frac{7}{2}x^2 + 3x$ は $x = \frac{1}{2}$ で極大値 $\frac{17}{24}$ をとり、$x = 3$ で極小値 $-\frac{9}{2}$ をとる。グラフはこれらの極値を持つ三次関数となる。