点$(0, 2)$から曲線$y = x^3 - x^2 - 1$に引いた接線の方程式をすべて求める。

1. 問題の内容

点$(0, 2)$から曲線$y = x^3 - x^2 - 1$に引いた接線の方程式をすべて求める。

2. 解き方の手順

まず、曲線$y = x^3 - x^2 - 1$上の点を$(t, t^3 - t^2 - 1)$とおく。

この点における接線の傾き$m$は、$y$を$x$で微分して、$x = t$を代入することで得られる。

$y' = 3x^2 - 2x$なので、$m = 3t^2 - 2t$である。

よって、点$(t, t^3 - t^2 - 1)$における接線の方程式は、

$y - (t^3 - t^2 - 1) = (3t^2 - 2t)(x - t)$

と表される。

この接線が点$(0, 2)$を通るので、$x = 0$, $y = 2$を代入して、

$2 - (t^3 - t^2 - 1) = (3t^2 - 2t)(0 - t)$

これを整理すると、

$2 - t^3 + t^2 + 1 = -3t^3 + 2t^2$

$2t^3 - t^2 + 3 = 0$

$(t + 1)(2t^2 - 3t + 3) = 0$

$t + 1 = 0$または$2t^2 - 3t + 3 = 0$

$t = -1$

$2t^2 - 3t + 3 = 0$の判別式$D = (-3)^2 - 4(2)(3) = 9 - 24 = -15 < 0$なので、実数解を持たない。

したがって、$t = -1$のみが実数解となる。

$t = -1$のとき、接点は$(-1, (-1)^3 - (-1)^2 - 1) = (-1, -1 - 1 - 1) = (-1, -3)$

接線の傾き$m = 3(-1)^2 - 2(-1) = 3 + 2 = 5$

よって、接線の方程式は、

$y - (-3) = 5(x - (-1))$

$y + 3 = 5(x + 1)$

$y + 3 = 5x + 5$

$y = 5x + 2$

3. 最終的な答え

$y = 5x + 2$