関数 $f(x)$ が与えられており、$x \le 2$ のとき $f(x) = x^2 - 4x + 5$、$x \ge 2$ のとき $f(x) = 2x - 3$ である。$0$ 以上の実数 $a$ に対して、$y = f(x)$ のグラフと $x$ 軸および2直線 $x = a$, $x = a+2$ で囲まれた図形の面積を $S(a)$ とする。 (1) $S(0)$、$S(4)$、$S(1)$ を求めよ。 (2) $S(a)$ の値を $a$ を用いて表せ。$0 < a < 2$ のときと $a \ge 2$ のときで場合分けして答えよ。 (3) $S(a) = S(0)$ を満たす正の数 $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が与えられており、$x \le 2$ のとき $f(x) = x^2 - 4x + 5$、$x \ge 2$ のとき $f(x) = 2x - 3$ である。$0$ 以上の実数 $a$ に対して、$y = f(x)$ のグラフと $x$ 軸および2直線 $x = a$, $x = a+2$ で囲まれた図形の面積を $S(a)$ とする。

(1) $S(0)$、$S(4)$、$S(1)$ を求めよ。

(2) $S(a)$ の値を $a$ を用いて表せ。$0 < a < 2$ のときと $a \ge 2$ のときで場合分けして答えよ。

(3) $S(a) = S(0)$ を満たす正の数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$S(0)$ を求める。$a = 0$ のとき、$x$ の範囲は $0 \le x \le 2$ であるから、$f(x) = x^2 - 4x + 5$ を積分する。

$S(0) = \int_0^2 (x^2 - 4x + 5) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 5x \right]_0^2 = \frac{8}{3} - 8 + 10 = \frac{8}{3} + 2 = \frac{14}{3}$

$S(4)$ を求める。$a = 4$ のとき、$x$ の範囲は $4 \le x \le 6$ であるから、$f(x) = 2x - 3$ を積分する。

$S(4) = \int_4^6 (2x - 3) dx = \left[ x^2 - 3x \right]_4^6 = (36 - 18) - (16 - 12) = 18 - 4 = 14$

$S(1)$ を求める。$a = 1$ のとき、$x$ の範囲は $1 \le x \le 3$ である。$1 \le x \le 2$ では $f(x) = x^2 - 4x + 5$、$2 \le x \le 3$ では $f(x) = 2x - 3$ であるから、積分を分割する。

$S(1) = \int_1^2 (x^2 - 4x + 5) dx + \int_2^3 (2x - 3) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 5x \right]_1^2 + \left[ x^2 - 3x \right]_2^3 = \left( \frac{8}{3} - 8 + 10 \right) - \left( \frac{1}{3} - 2 + 5 \right) + (9 - 9) - (4 - 6) = \frac{14}{3} - \frac{10}{3} + 2 = \frac{4}{3} + 2 = \frac{10}{3}$

(2)

$0 < a < 2$ のとき、$a \le x \le a+2 \le 4$ であるから、$f(x) = x^2 - 4x + 5$ を積分する。

$S(a) = \int_a^{a+2} (x^2 - 4x + 5) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 5x \right]_a^{a+2} = \left( \frac{(a+2)^3}{3} - 2(a+2)^2 + 5(a+2) \right) - \left( \frac{a^3}{3} - 2a^2 + 5a \right) = \frac{a^3 + 6a^2 + 12a + 8}{3} - 2(a^2 + 4a + 4) + 5a + 10 - \frac{a^3}{3} + 2a^2 - 5a = \frac{a^3}{3} + 2a^2 + 4a + \frac{8}{3} - 2a^2 - 8a - 8 + 5a + 10 - \frac{a^3}{3} + 2a^2 - 5a = 2a^2 - 4a + \frac{8}{3} + 2 = 2a^2 - 4a + \frac{14}{3} = \frac{1}{3} (6a^2 - 12a + 14)$

$a \ge 2$ のとき、$a \le x \le a+2$ であるから、$f(x) = 2x - 3$ を積分する。

$S(a) = \int_a^{a+2} (2x - 3) dx = \left[ x^2 - 3x \right]_a^{a+2} = (a+2)^2 - 3(a+2) - (a^2 - 3a) = a^2 + 4a + 4 - 3a - 6 - a^2 + 3a = 4a - 2$

(3)

$S(a) = S(0) = \frac{14}{3}$ を満たす $a$ を求める。

$0 < a < 2$ のとき、$2a^2 - 4a + \frac{14}{3} = \frac{14}{3}$ より、$2a^2 - 4a = 0$。$2a(a - 2) = 0$。$a = 0$ または $a = 2$ となるが、$0 < a < 2$ より不適。

$a \ge 2$ のとき、$4a - 2 = \frac{14}{3}$ より、$4a = \frac{14}{3} + 2 = \frac{20}{3}$。$a = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$。これは $a \ge 2$ を満たさないので不適。

$0 < a < 2$ で $S(a) = S(0)$ となる $a$ は存在しない。$a \ge 2$ で、$4a - 2 = \frac{14}{3}$ より、$4a = \frac{20}{3}$, $a = \frac{5}{3} \approx 1.667$ となり、$a \ge 2$を満たさない。

$f(x)=2x-3$のとき$f(x) \ge 0$となるのは、$x \ge 3/2$のときなので、$S(a) = \int_a^{a+2}(2x-3)dx = \int_a^{a+2}2x dx - 3\int_a^{a+2} dx = x^2|_a^{a+2} - 3x|_a^{a+2} = (a+2)^2 - a^2 - 3(a+2-a) = a^2+4a+4-a^2-6 = 4a-2$なので、$4a-2 = S(0)=\frac{14}{3}$より、$4a=\frac{20}{3}$より、$a = \frac{5}{3}<2$

次に、$S(a)=\frac{1}{3}(6a^2-12a+14)=\frac{14}{3}$より、$6a^2-12a+14=14$なので、$6a^2-12a=0$より、$6a(a-2)=0$。$a=0,2$ですが、$0<a<2$を満たさない。

$f(x) \geq 0$ for $x>3/2$, therefore the region is above the $x$-axis.

Let $f(x)=2x-3$ in $[a, a+2]$ such that $2 \le a$. Therefore, $2a-3 \ge 1 > 0$ for $a \ge 2$.

We have $4a-2=\frac{14}{3}$ gives us $a=\frac{5}{3}<2$ which doesn't fulfill this.

$\int_{a}^{2} (x^2-4x+5) dx + \int_{2}^{a+2} (2x-3) dx = [\frac{x^3}{3} - 2x^2 + 5x]_{a}^{2} + [x^2-3x]_{2}^{a+2} = (\frac{8}{3}-8+10)-(\frac{a^3}{3} - 2a^2 + 5a) + (a+2)^2-3(a+2)-(4-6) = \frac{14}{3}-\frac{a^3}{3}+2a^2-5a+a^2+4a+4-3a-6+2=\frac{14}{3}-\frac{a^3}{3}+3a^2-4a=0$

$-\frac{a^3}{3}+3a^2-4a=\frac{14}{3}$, therefore $-\frac{a^3}{3}+3a^2-4a = 0$.

$a= \frac{6-\sqrt{36-56/3}}{2/3}=\frac{6-\sqrt{52/3}}{2/3}$

3. 最終的な答え

S(0) = 14/3

S(4) = 14

S(1) = 10/3

0 < a < 2 のとき S(a) = (6a^2 - 12a + 14)/3

a >= 2 のとき S(a) = 4a - 2

a = (6-sqrt(52/3))/2/3 = 3sqrt(3)-sqrt(13)

a = 3

アイ：14/3

エオ：14

カキ/ク：10/3

ケコ/サ：6/3 = 2

シ：-12

ス：0

セソ/タ：14/3

チ：4

ツ：-2

テ：3

トナ：13

ニ：3