関数 $y = 2x\sqrt{x} + \frac{1}{7x\sqrt[3]{x}}$ について、与えられた等式を完成させる問題です。具体的には、$y$ を $x$ のべき乗の形で表し、その導関数 $y'$ を計算し、空欄を埋めます。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x\sqrt{x} + \frac{1}{7x\sqrt[3]{x}}$ について、与えられた等式を完成させる問題です。具体的には、$y$ を $x$ のべき乗の形で表し、その導関数 $y'$ を計算し、空欄を埋めます。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を $x$ のべき乗の形で表します。

$x\sqrt{x} = x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{1+\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$

$x\sqrt[3]{x} = x \cdot x^{\frac{1}{3}} = x^{1+\frac{1}{3}} = x^{\frac{4}{3}}$

したがって、

$y = 2x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{7x^{\frac{4}{3}}} = 2x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{7}x^{-\frac{4}{3}}$

次に、$y'$ を計算します。

$y' = 2 \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} + \frac{1}{7} \cdot (-\frac{4}{3})x^{-\frac{4}{3}-1} = 3x^{\frac{1}{2}} - \frac{4}{21}x^{-\frac{7}{3}}$

$y' = 3\sqrt{x} - \frac{4}{21} \cdot \frac{1}{x^2\sqrt[3]{x}}$

$y' = 3\sqrt{x} + (-\frac{4}{21}) \frac{1}{x^2\sqrt[3]{x}}$

したがって、空欄を埋めると次のようになります。

$y = 2x\sqrt{x} + \frac{1}{7x\sqrt[3]{x}} = 2 \times x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{7} \times x^{-\frac{4}{3}}$

$y' = 3 \times \sqrt{x} + (-\frac{4}{21}) \times \frac{1}{x^2\sqrt[3]{x}}$

3. 最終的な答え

オ: 3/2

カ: -4/3

キ: 3

ク: -4/21